4. Правило резолюций

Автор данного правила – американский математик Робинсон, 1965 год.

Правило резолюций: . Введем новые понятия. Атом – это логическая переменная. Под дизъюнктом понимается элементарная дизъюнкция, то есть это дизъюнкция различных атомов или их отрицаний.

Это правило позволяет соединить две формулы, в одной из которых находится атом ( , а в другой отрицание атома ( . Получается новая формула без этого атома.

Доказательство. В логике высказываний имеет место тавтология:

По теореме о равносильных утверждениях отсюда получаем

.

Частные случаи: 1) ­ 2) 3) , где □ – пустой дизъюнкт (т.е. ложь).

Процесс доказательства методом резолюций.

Используется доказательство методом от противного. Отрицание заключения принимается в качестве дополнительной посылки.

1. Все посылки и отрицания заключения привести к нормальной форме. Для этого используются следующие равносильности:

При необходимости применяются законы де Моргана:

.

2. Все полученные в 1–м пункте дизъюнкты записываются с новой строки (включая отрицание заключения). В результате получается последовательность формул или последовательность дизъюнктов.

3. В полученной последовательности находим любые две формулы, в одной из которых находится атом, а в другой отрицание атома. Положение атомов в формуле роли не играет. Эти две формулы соединяем с помощью правила резолюций и получаем новую формулу без этого атома.

4. Затем ищут следующую пару формул аналогичным образом, в одной из которых атом, а в другой отрицание, и соединяют эти две формулы с помощью правила резолюций и т.д.

Аналогичным образом продолжают до тех пор, пока не появится пустой дизъюнкт □, который и выражает противоречие.

Преимущества использования правила резолюций:

1. В этом методе используется лишь одно правило – это правило резолюций. Не надо запоминать многочисленные правила вывода и теоремы классического исчисления высказываний.

2. В процессе доказательства не надо использовать различные равносильности для проведения простых преобразований.

3. Метод прост в реализации.

Замечание. На основе этого правила разработан язык логического программирования – Пролог.

Пример. . Доказать выводимость.

1. ; ;

2. – гипотезы

Дизъюнкты: 1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

3) 6. (2, 4)

7. (3, 5)

8. (1, 6)

9. – ложь.

При практической реализации этого метода, несмотря на простоту метода доказательства, может возникнуть ряд проблем. Последовательность может содержать большое количество формул. Возникает проблема, какие формулы соединить с помощью правила резолюции и как быстрее достичь цели. Для решения этих проблем разработаны специальные методики поиска.

5. Логика предикатов

5.1. Определение предиката

Понятие предиката обобщает понятие высказывания, а логика предикатов представляет собой дальнейшее развитие логики высказываний.

Предикат – предложение, похожее на высказывание, но все же им не являющееся: о нем нельзя судить истинно оно или ложно. Дадим определение предиката.

Определение 1. n–местным предикатом, заданным на множестве М₁М₂…М_n называется выражение, содержащее n переменных x₁, х₂, ..., х_n, которое становится высказыванием при подстановке вместо этих переменных элементов а₁, а₂, ..., а_n, из множеств М₁, М₂, ..., М_n соответственно.

Предикаты обозначаются как Р(х₁, х₂, ..., х_n) и пред­ставляют собой отображения Р: М₁М₂…М_n   {0,1}. То есть, упорядоченному набору элементов (а₁, а₂, ..., а_n) из множества М₁…М_n ставится в соответствие один из элементов множества {0,1}, причем 0, если Р(а₁, а₂, ..., а_n) – ложное высказывание и 1, если истинное. Переменные х₁, х₂, ..., х_n называются предметными, а элементы из множеств М₁, М₂, …, М_n, которые эти переменные пробегают – конкретными предметами. Местностью предиката называется число различных аргу­ментов, от которых зависит предикат. Предикат является функцией многих переменных.