Математическое моделирование

Математическая модель М описывающая ситему S (x₁,x₂,...,x_n; R), имеет вид: М=(z₁,z₂,...,z_m; Q), где z_iZ, i=1,2,...,n, Q, R - множества отношений над X - множеством входных, выходных сигналов и состояний системы и Z - множеством описаний, представлений элементов и подмножеств X, соответственно.

Модель включает в себя: объект О, субъект (не обязательный) А, задачу Z, ресурсы B, среду моделирования С.

Модель М называется статической, если среди x_i нет временного параметра t. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" сиcтемы, ее срез.

Модель - динамическая, если среди x_i есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Модель - дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Модель - непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени.

Модель - имитационная, если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров x_i модели М.

Модель - детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Можно говорить о различных режимах использования моделей - об имитационном режиме, о стохастическом режиме и т. д.

Жизненный цикл моделируемой системы

1. Сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ;

2. Проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);

3. Построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей;

4. Исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования;

5. Исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели;

6. Оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);

7. Интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно - следственных связей в исследуемой системе;

8. Генерация отчетов и проектных (народно - хозяйственных) решений;

9. Уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью моделирования.

Операции над моделями

Основными операциями, используемыми над моделями являются:

1. Линеаризация. Пусть М=М(X,Y,A), где X - множество входов, Y - выходов, А - состояний системы. Схематически можно это изобразить: X  A Y Если X, Y, A - линейные пространства (множества), а - линейные операторы, то система (модель) называется линейной. Другие системы (модели) - нелинейные. Нелинейные системы трудно поддаются исследованию, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным каким-то образом.

2. Идентификация. Пусть М=М(X,Y,A), A={a_i}, a_i=(a_i1,a_i2,...,a_ik) - вектор состояния объекта (системы). Если вектор a_i зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние системы в некоторых случаях. Идентификация - решение задачи построения по результатам наблюдений математических моделей, описывающих адекватно поведение реальной системы.

3. Агрегирование. Операция состоит в преобразовании (сведении) модели к модели (моделям) меньшей размерности (X, Y, A).

4. Декомпозиция. Операция состоит в разделении системы (модели) на подсистемы (подмодели) с сохранением структур и принадлежности одних элементов и подсистем другим.

5. Сборка. Операция состоит в преобразовании системы, модели, реализующей поставленную цель из заданных или определяемых подмоделей (структурно связанных и устойчивых).

6. Макетирование. Эта операция состоит в апробации, исследовании структурной связности, сложности, устойчивости с помощью макетов или подмоделей упрощенного вида, у которых функциональная часть упрощена (хотя вход и выход подмоделей сохранены).

7. Экспертиза, экспертное оценивание. Операция или процедура использования опыта, знаний, интуиции, интеллекта экспертов для исследования или моделирования плохо структурируемых, плохо формализуемых подсистем исследуемой системы.

8. Вычислительный эксперимент. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью распределения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер (и модель!).

Применение моделей

Модели и моделирование применяются по следующим основным и важным направлениям.

1. Обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей).

2. Познание и разработка теории исследуемых систем - с помощью каких - то моделей, моделирования, результатов моделирования.

3. Прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы).

4. Управление (системой в целом, отдельными подсистемами системы, выработка управленческих решений и стратегий).

5. Автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).

В базовой четверке информатики: "модель - алгоритм - компьютер - технология" при компьютерном моделировании главную роль играют уже алгоритм (программа), компьютер и технология (точнее, инструментальные системы для компьютера, компьютерные технологии). Например, при имитационном моделировании (при отсутствии строгого и формально записанного алгоритма) главную роль играют технология и средства моделирования; аналогично и в когнитивной графике.