3.3.2 Системы с потерями

В том случае, когда число приборов (каналов) меньше максимально возможной нагрузки (числа источников), возникает блокировка вызовов. Это иллюстрировано рис.24

На рис.3 предполагается, что только 13 каналов свободны к обслуживанию трафика. Поэтому три вызова в моменты t=2,2; 2,3 и 2,4 минуты блокируются и покидают систему. Общий объем потерянного трафика показан заштрихованной областью, которая представляет собой разность между всем трафиком, обслуженным сразу после поступления, и трафиком, обслуженным системой из 13 каналов с явной блокировкой вызовов. Вызов, поступивший в момент t=2,8, не заблокирован, хотя исходный профиль показывает, что этот вызов поступил, когда были заняты все 13 каналов. Причина этого состоит в том, что предыдущий заблокированный вызов покинул систему и поэтому уменьшил нагрузку для последующих поступлений вызовов. Следовательно, доля времени, когда исходный профиль трафика находится выше 13 Эрл, не совпадает с вероятностью блокировки, когда доступны только 13 каналов.

Рис.24 Профиль активности сети с явной блокировкой (число доступных каналов равно 13)

Первым специалистом, который в 1917 г. полно и точно вычислил вероятность блокировки при явных потерях, был Эрланг. Основной аспект формулы Эрланга и ключевой вклад в современную теорию случайных процессов – понятие статистического равновесия. Чтобы система пришла в состояние статического равновесия должно пройти некоторое время значительно большее средней длительности занятия. В этот момент наиболее вероятно состояние системы, при котором она имеет занятых каналов.

Если при этом число активных каналов превысит среднее значение , то выход вызова из системы станет более вероятным, чем его поступление. Аналогично, если число активных каналов упадет ниже , то поступление вызова более вероятно, чем выход из системы. Таким образом, если случайно система будет выведена из равновесия, то она будет стремиться вернутся в него.

Вероятность блокировки системы - определена для бесконечного числа источников сообщений и произвольного распределения длительности занятия,

(8)

где - число приборов (каналов); - интенсивность поступающей нагрузки, в эрлангах.

Выражение (8) определяет вероятность блокировки для системы со случайным поступлением вызовов бесконечного числа источников и произвольного распределения длительности занятия. Эта вероятность представлена графически на рис.25 как функция интенсивности поступающей нагрузки для различного числа каналов. Часто более полезное представление Эрланга дает рис.26, на котором представлено использование исходящих каналов для различной вероятности блокировок и числа каналов. Использование выходных каналов представляет собой нагрузку, обслуживаемую каждым каналом:

, (9)

Рис.25 Вероятность блокировки в системе с явными потерями: N – число каналов (приборов)

где - поступающая нагрузка; - число каналов; - вероятность блокировки; - обслуженная нагрузка.

Рис. 26 Использование исходящих каналов в системе с явными потерями

Объединение групп с малой нагрузкой в одну большую группу может обеспечить существенную экономию общего числа требуемых каналов. Большие группы более эффективны, чем несколько маленьких групп, поскольку маловероятно, что в малых группах перегрузка возникнет в один и тот же момент времени (допущение о независимости моментов поступления вызовов). В действительности избыточная нагрузка в одной группе может использовать свободные каналы другой группы. Поэтому каналы, которые нужны для выравнивания пиков нагрузки, но обычно свободны, используются более эффективно, когда нагрузка объединяется в одну группу. Это свойство – одна из причин интеграции речи и данных в общую сеть. Более выгодно концентрировать нагрузку на периферийной части сети. Иллюстрация такой группировки приведена на рис.27.

Большая эффективность использования каналов получается при объединении нагрузки в большие группы, что часто называют преимуществом групп большого размера. Эта эффективность – основная причина выбора иерархических структур коммутации. Вместо взаимодействия большого числа узлов с относительно маленькими группами каналов между каждой парой узлов, более экономно объединить всю нагрузку от отдельных узлов в одну большую группу и направить нагрузку через транзитный узел коммутации. На рис.28 сопоставлены полносвязная топология и топология типа “звезда” с центральным узлом коммутации в центре. Очевидно, что затраты на установку транзитных коммутаторов будут оправданы, если экономия общей протяженности линий в канало-километрах достаточно велика.

Рис. 27 Преобразования сети терминалов: a- отдельные группы нагрузки; б – нагрузка сконцентрирована в одной группе

Рис. 28 Использование транзитного коммутатора: а – полносвязная топология; б – топология типа “звезда”