6.8. Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение 5. Пусть функция определена на промежутке и интегрируема по Риману на любом отрезке . Если существует (конечный) предел

,

то его называют несобственным интегралом (первого рода) и обозначают

. (31)

Таким образом

.

В этом случае говорят также, что несобственный интеграл (31) сходится на промежутке , а функция называется интегрируемой (в несобственном смысле) на промежутке . Если же предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Замечания. 1) Если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно, т.к. и существуют одновременно.

2) Если имеет первообразную на промежутке , то

3. Очевидно, что для несобственных интегралов выполняется свойство линейности: если интегралы (31) для и существуют, то

4) Аналогично определяются несобственные интегралы

.

Поэтому дальше будем рассматривать только интеграл (31).

Примеры. 1) , т. е. данный интеграл сходится.

2) , но предел функции при не существует, следовательно, интеграл расходится.

3) ; интеграл расходится, так как

.

4) Исследовать сходимость интеграла , если – некоторое число.

а) Если α≠1, то для любого

б) Если , то для любого

.

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .

Теорема 29 (критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеграл (31) был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

.

□ Сходимость интеграла существованию конечного предела . Но в силу критерия Коши для функции при для существования предела необходимо и достаточно, чтобы

Тогда последнее неравенство можно переписать в виде:

■ Теорема 30 (признак сравнения). Пусть

а) и определены на , интегрируемы на ;

б) при ;

в) несобственный интеграл – сходится. Тогда сходится и .

 Поскольку сходится, то по теореме 29 выполняется критерий Коши: .Теперь проверим критерий Коши для функции : . Критерий Коши выполняется и, следовательно, интеграл сходится. ■

Определение 6. Несобственный интеграл (31) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

(32)

Если интеграл (31) сходится, а (32) расходится, то говорят, что интеграл (31) сходится условно. Из теоремы ясно, что если (31) абсолютно сходится, то и просто сходится.

Теорема 31 (основной критерий сходимости). Пусть при , тогда для сходимости интеграла (31) необходимо и достаточно, чтобы

. (33)

 Функция не убывает при , т.к. . Поэтому, для сходимости интеграла (31) , т.е. для существования предела, необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена сверху:

при ■

Теорема 32 (признак Дирихле). Пусть выполняются следующие условия:

а) функция интегрируема по Риману на любом отрезке

б) ;

в) функция при непрерывно дифференцируема и монотонно убывает, стремясь к нулю при .

Тогда – сходится.

 Рассмотрим . По условию теоремы функция ограничена , т.е. (из условия (а)). Заметим, что . По формуле интегрирования по частям, имеем:

(34)

Рассмотрим интеграл в правой части и оценим, учитывая, что по условию (в) монотонно убывает, следовательно .

Из теоремы 28 несобственный интеграл сходится абсолютно, а значит и просто сходится. Следовательно, существует конечный предел . Т.к. и при , то .

Следовательно, в правой части (34) существуют пределы всех слагаемых_. ■

Примеры. Заметим, что в примерах 1-4 вычисление несобствен­ного интеграла было основано на его определении, однако часто достаточно только исследования сходимости интеграла. Для этого как раз и используются доказанные теоремы.

5) Исследовать сходимость .

Решение. Сравним подынтегральную функцию с функцией на промежутке . Очевидно, что

.

Но интеграл сходится, так как . Следовательно, согласно

признаку сравнения сходится и данный интеграл.

6) Исследовать сходимость .

Решение. Сравнивая подынтегральную функцию , с функцией на промежутке , имеем:

.

Но интеграл расходится, так как (пример 40). Следовательно, согласно признаку сравнения и данный интеграл расходится.

7) Интеграл по признаку Дирихле сходится, поскольку:

а) функция интегрируема на любом отрезке,

б) ,

в) функция непрерывно дифференцируемая и монотонно убывает при .

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Определение 7. Пусть определена на промежутке , не ограниченна на этом промежутке и интегрируема по Риману на . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом (второго рода) и обозначают:

(35)

Говорят также, что несобственный интеграл (35) сходится на отрезке , а называют интегрируемой в несобственном смысле на . Если предел (35) не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Замечания. 1) Если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно, т.к. , то пределы и существуют одновременно.

2) Формулу (35) иногда записывают в виде

3) Если имеет первообразную на , то .

Если функция определена на промежутке , неограниченна на нем и интегрируемая , то аналогично определяется несобственный интеграл

.

Если функция определена на и сходятся интегралы и , то полагают по определению

.

Имеют место следующие теоремы, которые доказываются также как соответствующие теоремы для несобственных интегралов с бесконечными пределами.

Теорема 33 (критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеграл (35) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 34 (признак сравнения). Пусть и несобственный интеграл сходится, тогда сходится и интеграл .

Из этой теоремы следует, что если интеграл сходится абсолютно, то он сходится

Теорема 35. Пусть , тогда для сходимости интеграла (35) необходимо и достаточно, чтобы существовало такое , что при имело место неравенство

.

Пример. Исследовать сходимость интеграла , где – некоторое число.

а) Если , то

б) Если , то

.

Ясно, что при этот интеграл существует как интеграл Римана, при он сходится, а при расходится.

Главное значение несобственного интеграла. Пусть функция определена на всей числовой прямой и интегрируема по Риману на любом отрезке .

Определение 8. Главным значением несобственного интеграла с бесконечными пределами называется предел (если он существует)

.

Пример. Легко проверить, что расходится. Найдем главное значение.

.

Определение 9. Пусть определена на отрезке кроме того и интегрируема на любом отрезке и .

Главным значением несобственного интеграла от разрывной в точке функции называется предел

.

Пример. Интеграл – расходится, но главное значение существует: