1.Теор.Коши, интегральный признак коши

Теорема: (признак Коши) Пусть дан ряд Ʃun с положительными членами и существует предел lim(un)^1/n=С, тогда

1) ряд сходится при С˂1,

2) ряд расходится при С˃1.

Теорема: (интегральный признак Коши) Пусть функция f(x) на промежутке [1,+∞) удовлетворяет условиям:1)положительная 2)убывает 3)непрерывна. Тогда ряд Ʃ f(n) и несобственный интеграл ʃ f(x)dx одновременно сходится, либо одновременно расходится.

2. Опререления:точки максимума и минимума,точки

экстремума,стационарные и критические точки

Определение: Точки (x0;y0) называются точками max (min) функции z=f(x,y), если существует окрестность точки (x0;y0) такая, что для любой точки (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство: f(x0;y0)≥ f(x,y) (f(x0,y0)≤ f(x,y))

Определение: Max или min функции z=f(x,y) называется ее экстремумом, а точки, в которых функция имеет экстремум называются точками экстремума.

Определение: Точки, в которых все частные производные 1го пор ФНП =0 называются стационарными.

Определение: Точки, в которых все частные производные 1го пор ФНП=0 или не существует хотя бы одна из них называются критическими

3.найти экстремумы:z=y^2-x^2+xy-2x-6y

6 Билет

1) Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

Определение: Знакочередующимся рядом называется ряд, в котором члены попеременно то положительные, то отрицательные, те ряд вида

u1-u2+u3-u4+…+(- 1)^n+1*un+…=Ʃ(-1)^n+1*un, где un˃0

Теорема: (признак Лейбница сходимость знакочередующегося ряда) Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина его членов монотонно убывает, а общий член стремится к 0, т.е. выполняется 2 условия:

1) u1˃u2˃u3˃…

2)lim un=0

2)Условный экстремум. Необходимое условие условного экстремума

Определение: Условным экстремумом функции z=f(x,y) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные х и у связаны между собой уравнением связи: µ(х,у)=0

Теорема.(необходимое условие условного экстремума) Точки экстремума функции z=f(x,y) удовлетворяют системе из 3х уравнений:

∂L/∂x=∂f/∂x+λ*∂µ/∂x=0

∂L/∂y=∂f/∂y+λ*∂µ/∂y=0

∂L/∂λ=µ(x,y)=0, где L(x,y,λ)=f(x,y)+λµ(x,y)

3)Область определения z = ln(xy)+

Билет 7.

1.Определение знакоперем.Ряда.Абсолютно сходящийся,условно сходящийся.

Определение: Ряд с членами произвольных знаков называется знакопеременным.

Теорема: (признак сходимости знакопеременного ряда) Если ряд Ʃ│un│сходится, то сходится и ряд Ʃun.

Определение: Знакопеременный ряд называется абсолютно-сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Определение: Знакопеременный ряд называется условно- сходящимся, если он сходится, а ряд из абсолютных величин его членов расходится.

2. Теорема о существовании двойного интеграла, геометрический смысл двойного интеграла.

Теорема (о существовании ДИ): Если функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области D, то ДИ от этой a по данной области существует.

Геометрический смысл ДИ:1) Объем V цилиндрического тела с основанием D и ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y).

V=∫∫f(x,y)dxdy.

Замечание: A z=f(x,y) неотрицательна и непрерывна в области D.

2) Площадь S плоской области D s=SSdxdy

билет 8.