Предисловие

Настоящее учебное пособие включает в себя теоретические и практические материалы для освоения отдельных разделов экономико-математического моделирования, включенных в содержание дисциплины «Методы оптимальных решений», которая является дисциплиной базовой части образовательных программ Финансового университета по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Бизнес-информатика».

Курс «Методы оптимальных решений» посвящен основам теории оптимизации. В большей степени в нем будут рассматриваться основы линейного программирования, финансово-экономические приложения линейного программирования, элементы теории игр и другие разделы экономико-математического моделирования.

Данное учебное пособие состоит из четырех разделов.

В разделе «Основы линейного программирования» студент найдет подробную информацию о задачах линейного программирования, различных методах их решения, познакомится с основами теории двойственности.

Раздел «Специальные задачи линейного программирования» посвящен задачам дискретного программирования, транспортным задачам, методам их решения и различным модификациям транспортных задач.

В разделе 3 представлены методы решения задач многокритериальной оптимизации.

Четвертый раздел – «Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева», представляет классический пример использования систем линейных уравнений при моделировании макроэкономических процессов. Здесь представлены теоретические предпосылки для построения моделей «затраты-выпуск», а также показаны примеры их практической реализации.

Разделы данного пособия содержатся и в другой учебной литературе. Однако автор надеется, что изложение материала в компактной, доступной и наглядной форме позволит студентам быстро и качественно освоить различные процедуры экономико-математического моделирования, овладеть способами решения соответствующих задач «вручную».

Учебное пособие предназначено для студентов направлений подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Бизнес-информатика» (программа подготовки бакалавра). Оно может быть полезно также преподавателям вузов в части методического инструментария и подборки заданий для самостоятельной работы студентов.

Введение. Понятие, роль и этапы математического моделирования в экономике и финансах

Математика – в широком смысле этонаука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Большинство финансово-экономических показателей измеряется количественно. Поэтому на стыке финансово-экономических наук и математики сформировался целый ряд новых дисциплин, таких как методы оптимальных решений, финансовая математика (основы финансовых вычислений), исследование операций, эконометрика, теория игр и других. Эти дисциплины являются для экономистов и менеджеров логическим продолжением дисциплин высшая математика, математика, теория вероятностей и математическая статистика. Этот новый блок дисциплин, назовем их экономико-математическими дисциплинами, демонстрирует применение методов математики и теории вероятностей к решению экономических и управленческих задач.

Из истории

Целью решения многих практических задач является получение конкретного результата в виде числа или набора чисел. Это возможно, если задача сформулирована на языке математики. Крупнейшие ученые посвящали свои труды математическому описанию явлений и его исследованию. Позже этот процесс был назван математическим моделированием.

Первые попытки количественных исследований в экономике относятся ко второй половине 17 в. Они были связаны с одним из новых направлений в экономической теории – политической арифметикой. Так, У. Петти, Ч. Давенант, Г. Кинг использовали конкретные экономические данные в своих исследованиях и в первую очередь при расчете национального дохода. Это направление стимулировало поиск экономических законов. Первые математические модели в экономике были созданы Ф. Кене («Экономическая таблица», 1758 г.), А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо (модель международной торговли) и носили описательный характер.

В 19 в. математическому моделированию рыночной экономики посвятили свои работы В. Парето, Ф. Эджвот, О. Курно (математическая теория фирмы), Л. Вальрас и др.

В 20 в. возникли новые возможности для моделирования, обусловленные появлением и развитием вычислительной техники и соответствующих разделов прикладной математики. Перед моделями ставится задача уже не только описания и выявления закономерностей изучаемого объекта, но и предсказания его поведения при изменении некоторых параметров, а также принятия решений о дальнейших действиях.

В настоящее время традиционная опора при принятии экономических решений только на интуицию и опыт отдельных людей становится практически неприемлемой в силу невозможности оценить всю совокупность существенных факторов, определяющих те или иные экономические явления и процессы.

Использование математических моделей в экономике позволяет формально описать наиболее существенные связи между переменными, определяющими явление или процесс. Примерами экономико-математических моделей являются модели фирмы, экономического роста, рекламы, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие.

Модель – это упрощенное описание (или непосредственное создание) некоторого подобия исследуемого объекта, выявляющего только существенные для поставленной задачи черты. Если производится описание экономического объекта на формальном языке математики, модель является экономико-математической(далее ЭММ).

Повседневная деятельность экономиста и менеджера связана с исследованием самых разнообразных хозяйственных, управленческих, производственных, финансово-экономических ситуаций. Зачастую разрешение различных экономических проблем происходит интуитивно. Это не всегда дает самые лучшие финансовые результаты деятельности. Наиболее точную количественную оценку возможных экономических последствий при выборе того или иного управленческого решения можно получить в результате математического моделирования исследуемых объектов.

Как показывает опыт наиболее успешных фирм, умение экономистов и менеджеров самостоятельно создавать и анализировать модели с использованием «подручного» инструментария, например, офисных средств MS Excel, позволяет существенно повысить эффективность управленческих решений.

Без преувеличения можно сказать, что современная экономика и управление – это мир моделей. Приведем несколько примеров, подтверждающих этот тезис.

Пример 1. Простейшие ситуации по выбору условий депозита моделируются с помощью следующих математических соотношений (финансовых моделей):

– депозит на основе простых процентов;

– депозит на основе сложных процентов.

Используя эти соотношения, можно принять аргументированное (см. таблицу 1) решение о том, что при сроке сделки более года предпочтительнее оформить с банком договор на вклад по ставке сложных процентов; при сроке менее года немного выше множитель наращения для простой ставки.

Таблица 1 – Сравнение множителей наращения (ставка – 15 %, временная база – 360 дней)

Срок депозита n	Множители наращения
30 дней	1,0125	1,0117
180 дней	1,075	1,0724
1 год	1,15	1,15
5 лет	1,75	2,0114
10 лет	2,5	4,0456
20 лет	4	16,3665

Пример 2. Бухгалтерский баланс – это финансовая модель деятельности организации, построенная на равенстве ее активов и пассивов:

Пример 3. Для моделирования экономики отдельного региона или страны в целом, то есть для решения задач как микро-, так и на макроэкономическом уровне, часто используется модельвида y= ,называемая производственной функцией (ПФ), где – параметры ПФ, положительные постоянные. Часто и таковы, что =1. ПФ приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских ученых, предложивших ее использовать в 1929 г.

ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. В приложениях ПФКД – объем используемого основного капитала (объем используемых основных фондов – в отечественной терминологии), – затраты живого труда.Тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

Y= .

Историческая справка

В 1927 г. Пол Дуглас, экономист по образованию, обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (Y), капитальных вложений (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к математику Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую функцию:

.

Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филиппом Уикстидом, как было указано Ч. Коббом и П. Дугласом в их классической работе (1929 г.). Однако Ч. Кобб и П. Дуглас были первыми, кто использовал для ее построения эмпирические данные. Авторы не описывают, каким образом они на самом деле подобрали функцию, но предположительно они использовали форму регрессионного анализа, так как ссылались на «теорию наименьших квадратов».

Итак, основным методом исследования управленческих и экономических процессов в настоящее время является метод моделирования, основанный на принципе аналогии реального объекта и подобного ему, но более доступного – его модели.

Виды моделей:

1. физические – различного рода макеты, конструкции и другие подобные физические образования, т.е. это модели реальных объектов в миниатюре;

2. абстрактные:

а) символические – обычно их представляют в табличной, графической или математической форме;

б) словесно-описательные – в экономике это экономические сценарии, программы, различные пояснительные записки к проектам и т.п.

Математические модели в экономике и в управлении чаще всего строятся для следующих целей:

1. определение по модели оптимальных значений параметров процесса;

2. имитация сложного процесса при различных значениях параметров;

3. финансово-экономический анализ деятельности и прогнозирование значений тех или иных параметров процесса.

Известно выражение А. Эйнштейна: «Модели должны быть настолько простыми, насколько возможно, но не проще». Это означает, что модель упрощает процесс или объект, но не до такой степени, при которой могут быть потеряны основные связи и соотношения между его элементами.

Единой классификации ЭММ в настоящее время не выработано. В наиболее общем виде ЭММ подразделяют следующим образом:

1. макро- и микроэкономические;

2. прескриптивные и дескриптивные;

3. статические и динамические;

4. детерминированные и стохастические.

Пояснения:

1) макроэкономические – модели, регулирующие народнохозяйственные, межотраслевые или межрегиональные пропорции и экономические взаимоотношения (эти модели изучает экономическая теория);

микроэкономические – модели внутрифирменного планирования и управления;

2) прескриптивные (нормативные) – отвечают на вопрос, какой вариант управленческого поведения лучше, предпочтительнее (например, оптимизационные модели);

дескриптивные (аналитические) – отвечают на вопрос «что будет, если…», т.е. эти модели на основе известных или предполагаемых значений (оценок) некоторых ведущих факторов позволяют указать ожидаемые значения результативных факторов (например, балансовые, эконометрические модели).

3) в статических моделях все зависимости отнесены к одному периоду времени;

динамические модели описывают экономические процессы в развитии относительно фактора времени;

4) в стохастических (вероятностных) моделях отдельные их элементы представляют собой случайные величины;

в детерминированных моделях все элементы заданы, определены.

В процессе решения экономических задач с применением математических методов можно выделить четыре основных этапа:

1. Постановка экономической проблемы, задачи.

2. Моделирование проблемы.

3. Получение решения по модели (реализация модели).

4. Внедрение полученного решения, разработка рекомендаций, предложений.

Основные принципы разработки ЭММ:

1. Адекватность модели – соответствие модели характеристикам и закономерностям реального процесса.

2. Принцип системности – предполагает интерпретацию экономического объекта как большой системы и применение системного подхода к его исследованию.