4) Решить систему полученных уравнений любым известным методом и определить токи ветвей Баланс мощностей

P_отд=P_потр Мощность отдаваемая равна мощности потребляемой.

P_потр=

P_отд= +

n-количество сопротивлений

m -количество источников напряжения

l -количество сопротивлений источников тока

погрешность ≤3%

-U₀₁I₁+U₀₆I₆+U₂₁i₀₂=I₁²R₁+ I₃²R₃+ I₄²R₄+ I₅²R₅+ I₆²R₆

U₂₁= I₅R₅- I₄R₄

Метод узловых напряжений (мун)

МУН – метод, в котором переменными системы уравнений являются узловые напряжения. Основан на законе Ома и первом законе Киркгофа (алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся к любому узлу ЭЦ, тождественно равна 0)

Узловые напряжения U_k - напряжения в узлах, рассчитанные относительно базисного (опорного) узла.

G=1/R

U₁=µ₁- µ₀= µ₁- 0= µ₁

U_k=µ_k- µ₀= µ₁- 0= µ_k

U_1k=µ₁- µ_k= µ₁-µ_k= U₁- U_k

I₁=U₁G₁₀

I_k=U_kG_k0

I_1k=U_1kG_1k =G_1k (U₁- U_k)

Цепи с i₀, R

1)

N_I= Nу-1

N_I= 4-1=3

2)

(1) i₀₁+ i₀₆-I₅-I₂=0

(2) -i₀₁- i₀₃+I₅+I₄=0

(3) i₀₃+ i₀₈-I₄+I₅ +I₇=0

I₂=U₂₁G_1k =G₂ (U₂- U₁)

I₄=U₂₃G₄ =G₄ (U₂- U₃)

I₅=U₃₁G₅ =G₅ (U₃- U₁)

I₇=U₃G₇ =G₄ (U₂- U₃)

Подставим переменные в уравнения

i₀₁+ i₀₆- G₂(U₂- U₁) - G₅ (U₃- U₁)=0

-i₀₁- i₀₃+ G₂(U₂- U₁)+ G₄ (U₂- U₃)=0

- G₄ (U₂- U₃) +i₀₃+ G₅ (U₃- U₁)+ U₃G₇+ i₀₈=0

Перегруппируем

U₁ (G₂+ G₅) - U₂ G₂- U₃G₅ =-i₀₁- i₀₆

-U₁ G₂ +U₂(G₂+ G₄)- U₃ G₄=i₀₁+ i₀₃

-U₁ G₅ - U₂ G₄+U₃(G₄+ G₅+G₆)=i₀₃ -i₀₈

Переходим к канонической системе узловых уравнений третьего порядка

U₁ G₁₁ - U₂ G₁₂- U₃G₁₃ =i₁₁

-U₁ G₂₁ +U₂G₂₂- U₃ G₂₃=i₂₂

-U₁ G₃₁- U₂ G₃₂+U₃G₃₃=i₃₃

Cобственная проводимость G_kk k-ого узла - алгебраическая сумма проводимостей в ветвях, сходящихся к k-ому узлу, всегда положительна

Взаимная проводимость G_ki - алгебраическая сумма проводимостей в ветвях между k-ым и i-ым узлами, при этом ветви не пересекают другие узлы, всегда отрицательна

G_ki= G_ik

Собственные токи источников i_kk -собственные токи в k-той ветви, создаваемые источником в данной ветви.

Узел отрицательное значение

Узел положительное значение

Цепи с U₀, R, i₀

U₁(1/R₁+1/R₂)-U₂*0-U₃*1/R₁=-U₀₂*1/R₂-i₀₃

-U₁*0+U₂(1/R₄+1/R₅) -U₃*1/R₅=i₀₃

U₃=U₀₆

U₁(1/R₁+1/R₂) =-U₀₂*1/R₂-i₀₃+ U₀₆*1/R₁

U₂(1/R₄+1/R₅) =i₀₃ + U₀₆*1/R₅

i₂R₂ -U₀₂- U₁=0 i₂=(U₀₂+ U₁)/ R₂ i_k=(U_вых+ U_вх ± U_0k)/ R_k

Ток, текущий через источник напряжения, находится по первому закону Киркгофа

Алгоритм:

1 Выбрать базисный узел (опорный узел): для цепей с источниками тока i₀ и с сопротивлениями – произвольно, для цепей с источниками тока i₀, источниками напряжения U₀ и с сопротивлениями выбрать один из узлов, к которому подключен источник напряжения.

2 Определить порядок системы уравнений N_I= Nу-1-N_{ист. тока}

3 Записать каноническую систему уравнений первого порядка

4 Рассчитать собственные проводимости G_kk , взаимные проводимости G_ki , собственные токи источников i_kk

5 Рассчитать узловые напряжения U_k

6 Рассчитать токи ветвей i_k по закону Ома

7 Осуществить проверку по балансу мощностей (или по первому закону Киркгофа)

МУН с зависимыми источниками

Зависимые источники – результат идеализации активных устройств( операционных усилителей, резисторов, ламп)

На первом этапе необходимо нарисовать схему замещения, где активный прибор заменяется зависимым четырехполюсником.

U₂=kU₃

U₁(1/R₁+1/R₂)-U₂*0-U₃*1/R₁=i₀

-U₁*1/R₂-U₂*1/R₃+U₃(1/R₂+1/R₃) =0

U₃=U₂/k

U₁(1/R₁+1/R₂)-U₂*1/(kR₂)=i₀

-U₁*1/R₂-U₂*1/(kR₃)+U₃(1/(kR₂)+1/(kR₃)-1/R₃) =0

U₂=Δ2/Δ

Δ=