5. Теорема об оценке определённого интеграла по отрезку (формулировка, доказательство, геометрический смысл).

Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a).

Доказательство. Так как для любого x∈[a;b] имеем m≤f(x)≤M, то ∫(от a до b) mdx≤ ∫(от a до b) f(x)dx≤∫(от a до b) Mdx. Получаем: m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a).

Геометрический смысл. Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и M.

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).

Геометрический смысл. Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (формулировка, доказательство).

Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)'_x=f(x).

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: ∫(от a до x) f(t)dt=F(t)|(от a до x)=F(x)-F(a). Следовательно, (∫(от a до x) f(t)dt)'_x=(F(x)-F(a))'_x=F'(x)-0=f(x). Это означает, что определённый интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл.

Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим ∆_xz. Итак, ∆_xz=f(x+∆x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: ∆_yz=f(x;у+∆y)–f(х;у).

Если существует предел lim∆x→0(∆_xz/∆x)=lim∆x→0((f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'_x, δz/δx; f'_x, δf/δx.

Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x₀;y₀) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у₀. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'_x(x₀;y₀)=tgα, где α - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x₀;y₀) в точке M₀(x₀;y₀;f(x₀;y₀)). Аналогично f'_y(x₀;y₀)=tgβ.

9. Полное приращение функции z=f(x;y). Непрерывность функции z=f(x;y) в точке (два определения).

Пусть задана функция z=f(x;y). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, а переменной у приращение ∆у. Тогда полное приращение ∆z функции определяется равенством: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y).

1)Функция z=f(х;у) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀)∈ D(z), если её предел в этой точке совпадает со значением функции в данной точке, т.е. limX→X₀\Y→Y₀(f(x;y))= f(x₀;y₀).

2)Функция z=f(х;у) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Определение полного дифференциала dz и его форма.

Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x;∆y)→0 и β=β(∆x;∆y)→0 при ∆x→0 и ∆y→0.

Главная часть приращения функции z=f(x;y), линейная относительно ∆x и ∆y, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz: dz=A*∆x+B*∆y.

dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

11. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x;y) и непрерывностью функции z=f(x;y) в точке (формулировка, доказательство).

Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке М(x;y), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Δх. Функция получит приращение Δу. Найдем limΔx→0(Δy). limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f'(x0)*0=0. Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х₀.

12. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x,y) существованием частных производных в точке (формулировка, доказательство).

Теорема: Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют конечные частные производные, числено равны А и В

Дано: Δz=AΔx+ВΔy+0(ρ)

Доказать: Ǝ(δz/δx(x₀;y₀)=A

Доказательство: Дадим x₀→Δx, y=y₀ =>Δ_xz=(A*Δx+0(│x│). ρ=√(Δx²+Δy²)=│Δx│. Δ_xz/Δx=A+0(│x│)/Δx. LimΔx→0 (Δ_xz/Δx)=lim[A+0(│x│)/Δx]=A. δz/Δx(x₀;y₀)=A. Аналогично: Y₀→Δy, x=x₀=>Δ_yZ. δz/Δy(x₀;y₀)=B.

13. Достаточное условие дифференцируемости функции z=f(x;y) (формулировка).

Если функция z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные Z'_x и Z'_y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой: dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

14. Частные дифференциалы функции z=f(x;y): определение, форма.

Частным дифференциалом по х функции Z=f(x;y) называется главная часть частного приращения Δ_xZ=f(x+Δx;y)-f(x;y), пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. Δ_yZ=f(y+Δy;x)-f(x;y).

Форма. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy, где =(δz/δx)dx - частный дифференциал по Х; (δz/δy)dy - частный дифференциал по Y.

15. Сложная функция вида z=f(x;y), x=x(t), y=y(t) и её производная (с выводом).

Пусть есть производные f'_x, f'_y, x'_t, y'_t. to, Δt→Δx;Δy. Δz=(δz/δx)Δx+(δz/δy)Δy+0(ρ). Поделим обе части на Δt: Δz/Δt=(δz/δx)*(Δx/Δt)+(δz/δy)*(Δy/Δt)+0(ρ)/Δt. Lim Δt→0(Δz/Δt)=dz/dt. Lim Δt→0 ((δz/δx)*(Δx/Δt))=(δz/δx)*(dx/dt). Lim Δt→0 ((δz/δy)*(Δy/Δt))=(δz/δy)*(dy/dt). Lim Δt→0 (0(ρ)/Δt)=Lim Δt→0 (0(ρ)/ρ)*(ρ/Δt)=0. Следовательно dz/dt=(δz/δx)*(dx/dt)+(δz/δy)*(dy/dt).