Задание 1. Динамика относительного движения материальной точки

1.1. Краткие сведения из курса механики

Запишем сначала дифференциальное уравнение динамики точки в инерциальной системе отсчета

(1)

где – масса точки, – ее ускорение, – равнодействующая всех задаваемых сил, – равнодействующая сил реакций.

Дифференциальное уравнение, описывающее движение материальной точки в движущейся системе отсчета имеет вид

(2)

Слагаемые и называются, соответственно, переносной силой инерции и силой инерции Кориолиса, – скорость и ускорение точки в подвижной системе отсчета (относительные скорость и ускорение), – ускорение точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка (переносное ускорение), – ускорение Кориолиса; – угловая скорость вращения подвижной системы относительно неподвижной.

Уравнение (2) представляет собой основное уравнение динамики материальной точки, записанное в системе отсчета, движение которой по отношению к неподвижной (инерциальной) системе отсчета известно. Ниже такие системы отсчета будем называть неинерциальными.

Сопоставление уравнений (1) и (2) показывает, что в инерциальной системе отсчета ускорение материальной точки является результатом действия приложенных к ней сил, т.е. взаимодействия с другими материальными телами; в неинерциальной системе ускорение материальной точки является как результатом действия на нее сил, так и результатом движения самой системы. Если действие сил является динамической причиной движения точки с некоторым ускорением, то движение системы отсчета по отношению к инерциальной системе можно назвать кинематической причиной появления ускорения.

Силы инерции и можно рассматривать как поправки к закону Ньютона на неинерциальность подвижной системы отсчета. Если в рамках конкретной задачи их величинами можно пренебречь по сравнению с остальными действующими на материальную точку силами, то рассматриваемую подвижную систему отсчета полагают инерциальной.

В том случае, когда относительная скорость и относительное ускорение точки равны нулю (имеет место относительный покой), будет равна нулю и сила инерции Кориолиса. Тогда уравнение относительного покоя будет иметь вид

(3)

Более подробно с материалом можно ознакомиться, например, в [1, 3, 4].

1.2. Пример решения задания

Шарик М, рассматриваемый как материальная точка массы , начинает перемещаться по гладкому цилиндрическому каналу горизонтальной пластины, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси (Рис. 1). Найти уравнение относительного движения шарика, если в начальный момент времени он начал движение из точки О со скоростью , а так же выражение для определения реакции стенки канала.

Рис. 1

Решение. Представим движение шарика состоящим из искомого относительного (вдоль канала по пластине) и известного переносного (вращение вместе с пластиной). Ускорение шарика в переносном движении будет

,

а ускорение Кориолиса .

Тогда выражения для сил инерции примут вид

, .

Заметим, что сила инерции переносного движения направлена по радиусу DM от центра вращения, а сила инерции Кориолиса расположена в плоскости пластины и перпендикулярна оси канала. Эти силы вызывают появление горизонтальной составляющей силы реакции стенки канала . Действующие на шарик вертикальная составляющая силы реакции стенки канала и сила веса шарика на рисунке не указаны.

Запишем проекцию уравнения (2) на ось :

.

Приведем полученное уравнение к виду . Это уравнение допускает интегрирование методом разделения переменных, однако для рассматриваемого случая этот путь достаточно трудоемок. Будем искать решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка в виде . Найдем выражение для второй производной как и подставим оба выражения в исходное дифференциальное уравнение. Оно удовлетворяется при значениях .

В таком случае , а . Начальные условия позволяют определить постоянные интегрирования из решения системы уравнений

;

Окончательно вид решения будет .

Для нахождения выражений для составляющих реакций стенок канала, запишем проекции уравнения (2) на горизонтальную и вертикальную оси, перпендикулярные его оси:

;

Выражение для полной реакции стенки канала будет

С решением подобных примеров можно ознакомиться, например, в [2, 3, 4].