1.2. Пример решения

Дано: размеры прямоугольного параллелепипеда (см. рис.1), а так же величины, направления и точки приложения трех сил.

Найти величины и направляющие косинусы с осями декартовой координатной системы для главного вектора и главного момента.

Решение. Заметим, что сила имеет проекцию только на ось y. Для нахождения проекций сил и на оси декартовой координатной системы необходимо определить углы , и . Их можно получить составив, например, выражения для тангенсов:

.

Тогда ,

.

Знаки проекций учтены соответствующими направлениями векторов на рисунках 1 и 2.

Заметим, что значения синуса и косинуса соответствующего угла можно было получить непосредственно из соотношений между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, содержащего нужный угол. Например

.

Теперь составим выражения для проекций главного вектора и главного момента системы сил на координатные оси. При небольшом числе сил системы это сделать довольно несложно, если изобразить виды с соответствующих осей (см. рисунки 2.а,б,в).

Величины главного вектора и главного момента системы сил определяются через их проекции как

а направляющие косинусы с соответствующими осями как

где

В случае, когда число действующих сил существенно, вычисления удобнее выполнить в табличной форме, где по горизонтали для каждой точки приложения силы указываются ее координаты, проекции силы на координатные оси и, по формулам (6), вычисляются проекции ее момента. Проекции главного вектора и главного момента системы сил получаются суммированием соответствующих проекций.

С решением подробных примеров можно ознакомиться, например, в [2,3,5].

Задание 2. Определение опорных реакций и усилий в местах сопряжения конструкции из трех элементов

2.1. Краткие сведения из курса механики

Если вся конструкция под действием некоторой системы сил находится в равновесии, то и каждый элемент конструкции под действием системы активных сил и реактивных усилий со стороны других элементов, должен находиться в равновесии. В случае, когда на конструкцию действует пространственная системы сил, для каждого элемента можно записать шесть уравнений равновесия:

(10)

(11)

Если уравновешенная система сил расположена в плоскости (например, в плоскости ), то должны быть равны нулю проекции главного вектора системы сил на оси и , и проекция главного момента на ось (это уравнение соответствует моменту сил относительно какой-либо точки на плоскости ). Заметим, что три независимых уравнения равновесия для плоской системы сил могут состоять, так же, из двух уравнений моментов и одного уравнения для проекций сил на выбранную ось, либо из трех уравнений моментов (при условии, что выбранные точки не лежат на одной прямой).

Отметим, что силы, действующие на рассматриваемый элемент, могут быть разделены на активные (задаваемые) и реакции связей, либо на внешние и внутренние.

При составлении силовой схемы для элемента следует руководствоваться принципом освобождения от связей: состояние несвободного твердого тела (системы тел) не изменится, если считать связи отсутствующими, но взамен их приложить возникающие в них реакции; при этом реакция связи действует в направлении, противоположном тому, в котором связь препятствует перемещению.

Ниже в таблице 1 приведены основные типы связей и указаны особенности их реакций (направления и точки приложения):

Таблица 1

Типы связей	Свойства реакций
Гладкая поверхность	Сила реакции (сила нормального давления) проходит через точку контакта с поверхностью по нормали к ней
Шероховатая поверхность	Сила реакции раскладывается на составляющие: силу нормального давления и ортогональную ей силу трения
Шарнирно-неподвижная опора (для плоской задачи - это цилиндрический шарнир, для пространственной - сферический шарнир либо подпятник)	Сила реакции проходит через центр шарнира (направление заранее неизвестно, поэтому для плоской задачи неизвестны две ортогональные составляющие, а для пространственной – три)
Шарнирно-подвижная опора	Сила реакции проходит через ось шарнира по нормали к опорной поверхности
Невесомый стержень без поперечной нагрузки с шарнирами на концах	Сила реакции проходит вдоль прямой, соединяющей концевые шарниры
Невесомая нерастяжимая нить	Сила реакции проходит вдоль прямой, соединяющей концы нити
Жесткая заделка (неподвижное сопряжение абсолютно твердых тел)	Реакции проходят через точку сопряжения; включают силу и момент пары (их направления заранее не известны; поэтому для плоской задачи они имеют, соответственно, две и одну ортогональные, а для пространственной – три и три ортогональные составляющие)

Более подробно с материалом можно ознакомиться, например, в [1,3,5].