Требования к отчету.
Лабораторная работа выполняется в тетради для лабораторных работ (отдельные листы не принимаются).
Графики выполняются в графических пакетах (за редким исключением на миллиметровки).
Предоставить отчеты по четырем заданиям, приведенным выше.
Выучить теоретический материал, данный в приложениях A и B.
Уметь выводить формулы из приложения A.
Уметь объяснять смысл формул приведенных в приложении B.
Приложение a.
Нахождение решения уравнения Шредингера для свободного электрона в виде волнового пакета.
Запишем уравнение Шредингера для свободного электрона
(A.1)
После преобразований уравнение Шредингера принимает вид
(A.2)
Это уравнение решаем с начальным условием
(A.3)
Здесь
-
волновая функция электрона в начальный
момент времени. Ищем решение уравнения
(A.2) в виде интеграла Фурье
(A.4)
Подставляем (A.4) в (A.2) и получаем
(A.5)
Решение (A.4) можно теперь записать в следующем виде
(A.6)
Используем начальное условие (A.3), и из (A.6) получаем разложение начальной волновой функции электрона в интеграл Фурье.
(A.7)
К выражению (A.7) применяем обратное преобразование Фурье
(A.8)
Подведем итог проделанным преобразованиям.
Итак, если известна волновая функция
электрона
в начальный момент времени, то после
интегрирования (A.8) находим
коэффициенты
.
Затем после подстановки этих коэффициентов
в (A.6) и интегрировании,
получаем волновую функцию электрона
в произвольный момент времени в любой
точке пространства.
Для некоторых распределений интегрирование можно провести в явном виде и получить аналитическое выражение для решения уравнения Шредингера. В качестве начальной волновой функции возьмем распределение Гаусса, модулированное плоской монохроматической волной.
(A.9)
Здесь - средний импульс электрона. Выбор начальной волновой функции в таком виде позволят получить решение уравнения Шредингера в виде волнового пакета.
Рассмотрим подробно свойства начальной волновой функции (A.9).
Во-первых, волновая функция нормирована на единицу.
(A.10)
Нормировка (A.10) легко доказывается, если использовать следующий табличный интеграл.
(A.11)
Во-вторых, если волновая функция нормирована на единицу, то квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности, нахождения электрона в данной точке пространства.
(A.12)
Здесь величину
будем называть амплитудой волнового
пакета в начальный момент времени.
Физический смысл амплитуды пакета –
это максимальное значение распределения
вероятности. На Рис.1
показан график распределения плотности
вероятности.
Рис.1.
Распределение плотности вероятности в начальный момент времени.
Отметим некоторые особенности графика на Рис.1.
1. Координата
–
это точка на оси x, в
которой распределение вероятности
имеет максимальное значение. Поэтому
можно сказать, что с наибольшей
вероятностью можно обнаружить электрон
вблизи точки
.
2. Величина
определят отклонение от точки
,
при котором величина распределения
уменьшается в e раз
по сравнению с максимальным значением.
(A.13)
В этом случае величину
называют шириной волнового пакета в
начальный момент времени, а величину
–
полушириной пакета.
3. Вычислим вероятность нахождения
электрона в интервале
.
(A.14)
Таким образом, вероятность обнаружить электрон в области с центром и полушириной равна 0.843. Эта вероятность близка к единице, поэтому обычно, об области с полушириной говорят, как об области, где находится электрон в начальный момент времени.
В-третьих, начальная волновая функция
не является собственной функцией
оператора импульса
.
Поэтому электрон в состоянии с волновой
функцией
не имеет определенного импульса, можно
говорить только о среднем импульсе
электрона. Вычислим средний импульс
электрона.
(A.15)
Поэтому, величина в формуле (A.9) является средним значением импульса электрона. Формула (A.15) легко доказывается, если использовать табличный интеграл (A.11).
Таким образом, свойства начальной волновой функции разобраны. Теперь подставим функцию в интеграл Фурье (A.8) и найдем коэффициенты .
(A.16)
В интеграле (A.16) делаем следующую замену переменной интегрирования.
(A.17)
В результате интеграл (A.16) принимает следующий вид.
(A.18)
В результате получаем следующее выражение для коэффициентов .
(A.18)
Подставляем коэффициенты в формулу (A.6), получаем следующее интегральное выражение для волновой функции.
(A.19)
В интеграле (A.19) делаем следующую замену переменной интегрирования.
(A.20)
В результате интеграл (A.19) принимает следующий вид.
(A.21)
Окончательно получаем формулу для волнового пакета.
(A.22)
Легко видеть, что для начального момента времени формула (A.22) переходит в формулу (A.9) для начальной волновой функции. Найдем плотность вероятности для функции (A.22).
(A.23)
Подставляем волновой пакет (A.22) в формулу (A.23), и в результате получаем следующее выражение.
(A.24)
Здесь центр волнового пакета, или
максимум распределения плотности
вероятности, движется со скоростью
,
равной следующей величине.
(A.25)
Полуширина волнового пакета увеличивается со временем, и определятся следующей формулой.
(A.26)
Амплитуда волнового пакета уменьшается со временем, и определятся следующей формулой.
(A.27)
Таким образом, распределение вероятности для волнового пакета можно записать в следующем виде.
(A.28)
На Рис.2. показано распределение вероятности в три последовательных момента времени.
Рис.2.
Распределение вероятности в три последовательных момента времени.