Теория вероятностей
24. В заданиях 24.1-24.20 применить классическое определение вероятности:
24.1.В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 3 детали. Найти вероятность, что среди извлечённых деталей 1) нет бракованных; 2) нет годных.
24.2. Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в двух из 20 магазинов, среди которых два принадлежат фирме «Заря». Найти вероятность того, что в течение месяца 1) оба они будут проверены; 2) ни один из них не будет проверен.
24.3. В бригаде 8 рабочих, среди которых 2 женщины. Для выполнения работы по табельным номерам наудачу отобраны 5 человек. Найти вероятность того, что среди них 1) не окажется женщин; 2) окажутся обе женщины.
24.4. В ящике 50 арбузов, причем 10 из них являются некондицонными. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 арбуза окажутся 1)кондиционными; 2) некондиционными.
24.5. В корзине 20 яиц, среди которых 3 испорченных. Наудачу выбирают 5 яиц. Найти вероятность того, что среди них 1) нет испорченных; 2) только одно испорченное.
24.6. Линия электропередачи, длиной 20 км, соединяющая пункты А и В, порвалась в неизвестном месте. Найти вероятность того, что она порвалась не далее чем 1) в 1,5 км от пункта В; 2) в 2 км от пункта А.
24.7. В хозяйстве имеется 8 тракторов, причём 5 из них на гусеничном ходу. Найти вероятность, что в наудачу выбранный момент из трёх работающих тракторов 1) один на гусеничном ходу, а остальные колёсные; 2) все гусеничные.
24.8. Грузовая машина перевозит зерно от трёх комбайнов. За смену она сделала 5 рейсов от первого комбайна, 4 от второго и 3 от третьего? Найти частости перевозок от каждого комбайна?
24.9. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, которые он набрал наугад. Найти вероятность, того, что будут набраны нужные цифры. Какова вероятность того, что будут набраны нужные цифры, если известно, что цифры должны быть различными?
24.10. По данным многолетних наблюдений в данном районе число дождливых дней в октябре равно 15. Найти вероятность того, что 1) первого октября будет ясный день; 2) первого октября будет дождь; 3) первые два дня в октябре будут ясными?
24.11. Из 10 акционерных обществ (АО) три являются банкротами. Гражданин приобрёл по одной акции четырёх АО. Найти вероятность того, что среди купленных акций 1) нет акций банкротов; 2) одна акция банкрота.
24.12. Найти вероятность того, что 1) при бросании одной игральной кости (кубика) выпадет нечётное число очков; 2) при бросании двух игральных костей выпадет в сумме 5 очков.
24.13. В книге 105 страниц. Найти вероятность того, что нужная формула находится на странице, которая оканчивается цифрой 1) 1; 2) 6.
24.14. Для посева заготовлена смесь, состоящая из 100г белой, 300г цветной и 600г чёрной фасоли. Найти вероятность того, что наудачу отобранное зерно 1) белое; 2) чёрное.
24.15. На склад поступило 100 ящиков огурцов от двух бригад, причём от первой поступило 40 ящиков. Найти вероятность того, что из двух наудачу выбранных ящиков 1) оба поступили от первой бригады; 1) от первой бригады поступил один ящик.
24.16. Для озеленения пустыря завезли 150 саженцев деревьев. Среди них 40 тополей, 40 клёнов, 50 сосен 20 елей. Найти вероятность того, что первое наугад выбранное для посадки дерево окажется 1) хвойным; 2) лиственным.
24.17. Среди 200 ампул, проверенных на герметичность, оказалось 3 с трещинами. Найти относительную частоту появления ампул 1) с трещинами; 2) без трещин.
24.18. Опытный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 50 м и 100м. Под пшеницу была выделена площадь 100 кв. м. Какова вероятность, что в данном месте участка посеяна пшеница.
24.19. За бригадой были закреплены 5 прицепных и 7 навесных культиваторов. Какова вероятность, что из трёх наудачу выбранных культиваторов 1)один навесной; 2) два навесных.
24.20. В хозяйстве из 15 тракторов не отремонтировано 3. Найти вероятность того, что из пяти выбранных наугад 1) все исправны; 2) один неисправен.
25. В заданиях 25.1-25.20 применить формулы сложения и умножения вероятностей:
25.1. При изготовлении некоторого изделия брак составляет 2% от общего количества. Из числа годных изделий 90% составляют изделия первого сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие будет первого сорта.
25.2. В тракторной бригаде работают 3 трактора одной марки. Вероятность того, что каждый из них будет работать без вмешательства механика, равна 0,96. Найти вероятность того, что 1) все тракторы не потребует вмешательства механика; 2) хотя бы один трактор потребует внимания механика.
25.3. В корзине находится 10 яиц, среди которых 3 штуки испорченные. Первое разбитое яйцо оказалось некачественным. Какова вероятность того, что второе наугад разбитое яйцо будет качественным.
25.4. Вероятность правильного оформления счёта на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счёта. Найти вероятность того, что 1) оба счёта оформлены правильно; 2) хотя бы один счёт оформлен неправильно.
25.5. Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,95, а для второго эта вероятность равна 0,9. Найти вероятность, что при аварии сработает 1) хотя бы один сигнализатор; 2)оба сигнализатора.
25.6. В мастерской по ремонту сельхозинвентаря имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент электродвигатель включён равна 0,2. Найти вероятность того, что, что в данный момент из числа резервных 1) все двигатели включены; 2) включён хотя бы один двигатель.
25.7. Вероятность того, что комбайн на уборке пшеницы будет работать без поломок, равна 0,8. Вероятность безотказной работы автомашины равна 0,85. Найти вероятность того, что уборка будет произведена без остановок из-за поломок.
25.8. Для посадки заготовили три сорта картофеля. Первого сорта заготовили 500кг, второго – 300кг и третьего – 200 кг. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клубень либо первого, либо второго сорта?
25.9. В книге 100 страниц. Какова вероятность того, что нужная формула находится на странице, номер которой будет кратным 4 или 5?
25.10. Партия семян, состоящая из 10 мешков, принимается, если при проверке семян из выбранных наудачу двух мешков они окажутся удовлетворяющими стандарту. Найти вероятность приёмки партии, содержащей в четырёх мешках нестандартные семена.
25.11. Для полива участка вода поставляется двумя насосами. Вероятность бесперебойной работы в течение смены для одного из них равна 0,9, а для другого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение смены будут работать 1) оба насоса; 2) хотя бы один из них.
25.12. Вероятность установления в Саратовской области устойчивого снежного покрова до 10 ноября равна 0,2. Найти вероятность того, что два года подряд с 10 ноября в области установится устойчивый снежный покров.
25.13. Пахотный агрегат состоит из трактора и плуга. Вероятность безостановочной работы трактора в течение смены равна 0,9, а вероятность поломки плуга равна 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены агрегат будет работать без остановок из-за поломок.
25.14. В зернохранилище поступает зерно от двух хозяйств. В течение смены от первого хозяйства поступает 12 автомашин, а от второго – 15. Какова вероятность того, что прибывшие подряд две машины принадлежат второму хозяйству?
25.15. В стаде из 30 животных одной породы оказалось 5 без прививки. Наудачу выбирают двух животных. Какова вероятность, что они оба привитые?
25.16. Установлено, что 5% яблок данной партии поражены паршой. Какова вероятность, что 2 яблока, выбранные из них наугад, здоровые?
25.17. При подготовке семян к посеву установлено, что повреждённые семена составляют 5%. Для целых семян всхожесть составляет 85%. Какова вероятность, что из наудачу взятого зерна вырастет растение?
25.18. Среди 1000 початков кукурузы, заготовленной на семена, 400 штук имеют массу менее 250 г; 300 штук – более 250 г, но менее 275г; остальные имеют массу большую 275г. Какова вероятность того, что масса наугад взятого початка окажется более 250 г?
25.19. На делянке в посевах пшеницы 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым?
25.20. В теплицу завезли три сорта удобрений: 15 пакетов аммиачной селитры, 10 пакетов мочевины и 5 пакетов кальциевой селитры. Найти вероятность того, что наудачу выбранный пакет окажется мочевиной или аммиачной селитрой.
26. В заданиях 26.1-26.20 применить формулы полной вероятности и Байеса:
26.1. Двое рабочих изготовили по одинаковому количеству деталей. Вероятность изготовления бракованной детали для первого рабочего равна 0,1, а для второго - 0,15. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется годной. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена первым рабочим.
26.2. Заготовлены семена трёх сортов пшеницы, причём семена первого сорта составляют 50%, второго – 30%, и третьего 20%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зёрен, равна для первого сорта 0,8, для второго- 0,7 и для третьего 0,6. Наудачу собранный колос содержит более 50 зёрен. Какова вероятность, что он вырос из зерна второго сорта.
26.3. Детали на сборку плуга поступают из двух цехов: 70% из первого цеха, из второго – 30%. Среди деталей первого цеха 10% брака, среди деталей второго цеха 5% брака. Какова вероятность того, что выбранная годная деталь изготовлена во втором цехе?
26.4. Для посадки заготовили семена двух сортов огурцов: 40% сорта «Конкурент» и 60% сорта «Неженский». Всхожесть сорта «Конкурент» составляет 80%, сорта «Неженский» – 85%. Посаженное семя проросло. Какова вероятность того, что проросло семя сорта «Конкурент»?
26.5. Для посадки заготовили 70 саженцев яблони и 30 саженцев груши. Стандартные саженцы среди яблонь составляют 80%, среди груш 85%. Какова вероятность, что наудачу взятый саженец стандартный?
26.6. Поле вспахано тремя агрегатами, состоящими из трактора и комплекта плугов. Производительность первого агрегата больше, чем второго в 2 раза. Производительность третьего агрегата равна производительности первых двух вместе взятых. Вероятность вспашки на заданную глубину для первого агрегата составляет 0,9, для второго- 0,95 и для третьего –0,8. Был обнаружен брак в пахоте. Какова вероятность того, что он был допущен при работе первого агрегата?
26.7. В магазин поступают электролампы, изготовленные на двух заводах, причём первый завод поставляет 60% от общего количества электроламп. Продукция первого завода содержит 10% брака, второго – 15%. Какова вероятность того, что купленная в магазине стандартная лампа изготовлена на втором заводе?
26.8. На сборку трактора поступают детали от трёх станков, производительность которых относится как 1:2:3. Причём брак составляет для них соответственно 1%; 1,5%; 0,5%. Взятая наугад деталь оказалась годной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.
26.9. Для посадки на опытном участке заготовили семена трёх сортов пшеницы, причём первого сорта заготовили 200г, второго 300г и третьего – 500г. Всхожесть семян составляет соответственно 90%, 85%, 80%. Найти вероятность того, что наугад взятое зерно прорастёт.
26.10. В каждой из двух урн содержится 6 чёрных и 4 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлечённый из второй урны, окажется чёрным.
26.11. В каждой из двух урн содержится 7 белых и три чёрных шара. Из второй урны наудачу извлечён один шар и переложен в первую. Найти вероятность, что шар, извлечённый из первой урны, окажется белым.
26.12. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и усиленном. В нормальном режиме он работает 80% времени, а в усиленном – 20%. Вероятность выхода прибора из строя в течение смены в нормальном режиме равна 0,1, а в усиленном – 0,7. Найти вероятность того, что прибор в течение смены не выйдет из строя.
26.13. Одну и ту же операцию выполняют рабочие 3-го, 4-го и 5-го разрядов, производительности которых относятся как 2:3:5. При этом рабочие 5-го разряда допускают 2% брака, 4-го – 3%, а 3-го – 5%. При проверке деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что её изготовил рабочий 5-го разряда?
26.14. На молочный завод ежедневно поступает молоко с двух ферм: 70 фляг с первой и 30 – со второй. Вероятность того, что жирность молока не ниже 4% для продукции первой фермы равна 0,75, а для второй – 0,8. В наудачу выбранной фляге молоко содержало жира более 4%. Какова вероятность того, что фляга поступила со второй фермы?
26.15. В инкубатор заложили яйца двух сортов. Первого сорта – 80%, второго – 20%. Вероятность того, что из яйца первого сорта вылупится цыплёнок, равна 0,95, а для второго – 0,8. Какова вероятность того, что наудачу взятый цыплёнок вылупился из яйца второго сорта?
26.16. Трое рабочих изготавливают одинаковые детали: первый – 12, второй – 15, а третий 18 штук в день. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым мастером, будет стандартной равна 0,95, вторым - 0,9, а третьим – 0,85. Наудачу взятая деталь оказалась стандартной. Какова вероятность, что она изготовлена вторым рабочим?
26.17. Азотные удобрения поступают на склад хозяйства из пунктов А и В, причём из пункта А в 2 раза больше, чем из пункта В. Вероятность того, что удобрения из пункта А удовлетворяют стандарту равна 0,8, а из пункта В – 0,75. Найти вероятность того, что взятое для пробы на складе хозяйства удобрение удовлетворяет стандарту.
26.18. Три бригады возят на сортировку картофель. Первая бригада сдала 35% картофеля, вторая – 45%, третья – 20%. Доля некондиционного картофеля из первой бригады составляет 0,04, второй – 0,06, третьей – 0,03. Найти вероятность того, что взятый наудачу клубень окажется кондиционным и убран первой бригадой.
26.19. Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролёров. Первый из них проверяет 60% изделий. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, для первого контролёра равна 0,95, для второго – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй контролёр.
26.20. Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдёт сбой в оперативной памяти и остальных устройствах, относятся как 4:6. Вероятность обнаружения сбоя в оперативной памяти равна 0,8, а в остальных устройствах – 0,9. Найти вероятность того, что возникший сбой будет обнаружен.