2.2.2. Математические модели

Рассмотрим постановку задачи и алгоритмы решения задач построения математических моделей аналитическими и статистическими методами.

Пусть имеется некоторый объект с m входами X = (x₁, …, x_m) и одним выходом y, связанными некоторой функциональной зависимостью

y = F (X, A) + ε,

где A = (a₁, …, a_m) – вектор коэффициентов (параметров); ε – помехи.

Необходимо по выборке из k значений W = {w¹, …, wⁱ, …, w^k}, где wⁱ = {yⁱ_y,xⁱ}, найти такое функциональное преобразование, чтобы минимизировать некоторый критерий рассогласования модели и объекта (критерий качества модели): где F – функциональное преобразование (фактически структура математической модели), f – множество возможных преобразований (структур моделей).

В задаче построения математической модели возникает ряд проблем, среди которых можно выделить следующие:

• выбор структуры модели (функции F(X,A));

• оценивание вектора коэффициентов модели А;

• выбор критерия оценки качества модели D.

Все эти задачи тесно связаны между собой: выбирая структуру модели, надо оценивать ее качество, а чтобы оценить качество модели, необходимо предварительно найти ее коэффициенты.

Выделяют следующие методы построения математических моделей:

• аналитический;

• статистический (экспериментальный);

• экспериментально-аналитический.

Аналитические модели (их еще называют «физическими») строятся исходя из анализа объекта и известных законов (физики, химии, экономики и т.п.).

Экспериментальные модели строятся на основе экспериментальных данных, полученных с объекта исследования. Фактически используется метод «черного ящика», при котором математические модели строятся на основании наблюдений за входными и выходными значениями. Построение математических моделей по результатам наблюдения входных и выходных переменных объекта получило название "идентификация". При этом определяются не только коэффициенты модели (идентификация в узком смысле), но и ее структура (структурная идентификация).

Однако, как показывает практика, ни тот ни другой подход не используется в чистом виде: при построении аналитических моделей приходится их подстраивать по данным эксперимента, а в экспериментальных моделях закладываются некоторые априорные сведения об объекте (применяется так называемый метод «серого ящика»). Поэтому наиболее распространен экспериментально-аналитический подход, когда исходная структура модели строится на основании анализа процессов в системе, а коэффициенты определяются по экспериментальным данным.

Выбор структуры модели.

Уточним постановку задачи структурной идентификации. Будем считать, что нам ничего не известно о структуре истинной зависимости F. Тогда при т входных переменных теоретически может существовать бесконечное количество структур F (X, A), принадлежащих f. Поскольку нам не известна структура Fº, то, если даже мы найдем такую F, которая равна Fº, мы не узнаем об этом.

Решение любой задачи выбора состоит из двух подзадач: «генерация» альтернатив и формирование критерия выбора наилучшей из них. В отношении структуры модели эти подзадачи можно сформулировать как необходимость:

• разработать алгоритм «генерации» (перебора) структур;

• сформировать критерий оценки качества структуры (качества модели).

Методы и алгоритмы выбора структур моделей.

Методы шаговой регрессии. Основная идея шаговой (пошаговой) регрессии заключается в гипотезе о том, что искомую структуру можно найти, трансформируя модель путем следующих последовательных действий:

1) добавления к модели наиболее значимых по некоторому критерию переменных (метод включения, или «присоединения»);

2) исключения незначимых по некоторому критерию переменных (метод исключения, или «удаления»);

3) добавления наиболее значимых переменных при одновременном исключении незначимых (метод добавления-исключения, или «присоединения-удаления»).

В качестве добавляемых (удаляемых) переменных могут выступать не только сами исходные переменные x₁, …, x_m, но и функции от них

Частным случаем функций можно считать и функции вида: Таким образом, с помощью шаговой регрессии можно строить нелинейные (нелинейные по переменным, но линейные по параметрам) математические модели вида

y = a₀ +∑ a_if_i(x₁…..x_m).

Метод включения начинает свою работу с выбора наиболее значимой (по некоторому критерию) переменной (функции) из списка: Затем из оставшихся переменных выбирается наиболее значимая и включается в модель. И так до тех пор, пока улучшается качество модели. Качество последней во многом зависит от порядка вхождения переменных в модель, который, в свою очередь, определяется используемым критерием включения. Поскольку между переменными практически всегда имеется ненулевая корреляционная зависимость, то не выполняется правило аддитивности. В результате переменная, значимая на предыдущих шагах, может стать незначимой на последующих, и ее присутствие может препятствовать включению в модель другой, более значимой переменной. Эта особенность ограничивает возможность метода включения.

Метод исключения первоначально рассматривает модель, в которую включены все имеющиеся L входных переменных. Затем из них последовательно исключаются незначимые (по некоторому критерию) переменные до тех пор, пока улучшается качество модели. Структура конечной модели может совпадать со структурой, полученной по методу включения, но для сложных моделей это скорее исключение, чем правило. Данному методу присущ недостаток метода включения: исключенные на предыдущих шагах переменные могут оказаться значимыми после исключения других переменных. Кроме того, к недостаткам можно отнести и повышенные требования к вычислительным ресурсам при работе с массивами большого размера на первых шагах алгоритма, а при небольших выборках экспериментальных данных — алгоритм может вообще не работать (например, если k < L).

Объединение вышеназванных методов дает метод включения-исключения, в основе которого лежит метод включения, но дополнительно на каждом шаге алгоритма происходит проверка переменных на значимость: незначимые переменные исключаются из модели. При кажущейся эффективности такого подхода метод не дает уверенности в оптимальности найденной структуры. В работе предложен алгоритм, автоматически выбирающий порог исключения переменных, что частично решает проблему выбора соответствующего критерия, но опять же не гарантирует нахождения глобального экстремума.

Метод группового учета аргументов (МГУА). Сложно говорить о МГУА как о конкретном методе, поскольку начиная с 1968 г. разработаны десятки его разновидностей. В МГУА можно выделить два направления: комбинаторные и селективные (еще их называют многорядными) алгоритмы. В комбинаторном алгоритме сначала рассматривается множество моделей от одной переменной:

Затем рассматривается множество всех возможных моделей от двух переменных:

Далее от трех и так до тех пор, пока улучшается критерий D. Возможности комбинаторного алгоритма ограничены возможностями вычислительной техники, поскольку ввод одной дополнительной входной переменной увеличивает время счета примерно вдвое [1,2,7,8].

Выбор критерия оценки качества модели

Различные алгоритмы порождают необходимость определиться с множеством различных критериев. В частности, необходимо выбрать критерий включения переменных в модель и их исключения, критерий останова алгоритма и критерий оценки окончательной модели.

Общий принцип останова шаговых алгоритмов структурной идентификации следующий: расчеты надо прекращать, когда дальнейшая работа алгоритма не приводит к улучшению качества модели. Отсюда следует общность критериев останова и качества модели.

Критерий оценки качества модели зависит от ее назначения. Например, если предполагается использовать модель для управления или прогнозирования, то необходима высокая прогностическая способность модели — на одни и те же входные воздействия модель и объект должны давать близкие результаты на выходе. Если модель используется в системе измерений, то целью является минимум максимального отклонения значений модели и объекта. Если необходимо построить распознающую систему, то в качестве критерия берут ошибку распознавания — отношение правильных ответов к общему их числу.

Если ограничиться задачей управления, то в основу искомого критерия останова можно заложить требование близости значений выхода модели у^м и объекта у при одинаковых значениях входных переменных где Х – рабочая область изменения входных переменных:

Наиболее распространен следующий критерий оценки качества модели:

В приведенном виде среднеквадратичная ошибка отклонения рассчитывается в процентах от среднего значения

Все критерии останова, алгоритмов структурной идентификации (они же критерии качества модели), за исключением критерия достижения заданного числа входных переменных в модели и ему подобных, можно разбить на две группы: внутренние и внешние. Внутренние критерии вычисляются на основании данных, участвующих в построении модели, а внешние — на основании дополнительных данных.

К внутренним критериям, в первую очередь, следует отнести остаточную ошибку модели — сумму отклонений (абсолютных или квадратов разностей) значений выходных переменных объекта и модели. Далее следует назвать коэффициент детерминации (квадрат множественного коэффициента корреляции R²), приведенную остаточную ошибку, приведенный R² и критерий Марллоуса С_р, а также другие критерии.

Более надежным представляется использование нескольких выборок данных: по одним выборкам строится модель, а по другим — оценивается ее качество.

В ряде работ дополнительные экспериментальные данные (экзаменационные точки) предлагается применять для оценки качества готовых моделей. Таким образом, предлагается из множества экспериментальных данных выделять часть точек в качестве контрольных. Среднеквадратичная ошибка на этих точках может служить в качестве критерия останова алгоритмов структурной идентификации.

Если наблюдать поведение модели на дополнительных экспериментальных точках, то можно заметить, что, начиная с некоторого шага, модель начинает удаляться от этих точек (в случае неустойчивости это удаление начинается с первого же шага). Исходя из этого, предлагается определять момент останова алгоритма по ошибке на контрольных точках - расчеты прекращаются в момент достижения первого минимума ошибки по шагам алгоритма.

В силу независимости от конкретного алгоритма, в качестве критерия качества готовых моделей или для сравнения моделей, построенных с помощью различных алгоритмов, предлагается также использовать среднеквадратичную ошибку на контрольных точках.

Оценивание параметров модели

Будем считать, что нам известна структура модели (оператора F), но не известны коэффициенты (параметры) этой модели. Какой бы точной ни была структура модели, практически всегда имеются параметры, которые необходимо найти или уточнить. Задача оценивания параметров модели ставится как задача оптимизации: необходимо найти такой вектор параметров А из области допустимых значений Ω, чтобы минимизировать некоторую функцию отклонения значений выхода модели (у^м) от выхода объекта (у) при одних и тех же значениях входных переменных:

Пример. Пусть известна структура модели: у^м=а₀ + а₁х. Необходимо по k измерениям y и x найти параметры модели а₀ и а_{1 .} Запишем критерий:

Для нахождения а₀ и а₁, приводящих к минимизации заданный критерий D, возьмем частные производные от D по а₀ и а₁ и приравняем их нулю (из математики известно, что в точках экстремума функции ее производная равна нулю):

В результате получается система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, решение которой и дает искомые значения параметров а₀ и а₁:

Однако для применения этого метода предъявляются определенные требования к данным:

а) входные переменные модели должны быть линейно независимые, что выполняется;

б) помехи, действующие на систему, должны иметь нормальное распределение.

Эти требования выполняются далеко не всегда, что может привести к ненадежным оценкам параметров модели. Другой проблемой является ограниченность имеющейся выборки данных (набор экспериментальных точек). Для параметров модели используется эмпирическое правило: для корректной, надежной оценки одного параметра необходимо 5-10 экспериментальных точек. Однако бывают ситуации, когда получение достаточного числа точек крайне затруднено или очень дорого.