Часть I Программа 1-го семестра
(зачет)
Определители 2-го, 3-го и n-го порядка. Способы их вычислений.
Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Декартова и полярная системы координат на плоскости. Декартова система координат в пространстве.
Векторы на плоскости и в пространстве. Координаты векторов.
Простейшие операции над векторами: умножение вектора на число, сложение и вычитание векторов.
Скалярное произведение векторов и его приложения. Проекция вектора на вектор.
Векторное произведение векторов и его приложения.
Смешанное произведение векторов и его приложения.
Уравнение линии на плоскости. Алгебраические линии.
Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнения прямой линии.
Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Предел числовой последовательности и функции.
Раскрытие неопределенностей вида
Первый и второй замечательные пределы и следствия из них.
Производная функции. Таблица производных и правила дифференцирования.
Производная обратной, неявной функции и функции, заданной параметрически.
Логарифмическое дифференцирование.
Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям.
Правило Лопиталя вычисления пределов. Раскрытие неопределенностей вида
Формулы Тейлора и Маклорена.
Решение типичных задач, предлагающихся в первом семестре Линейная алгебра
Пример 1. Решить систему линейных уравнений: 1) методом Крамера;
2) методом Гаусса; 3) с помощью обратной матрицы.
Решение.
Метод Крамера. Вычислим главный определитель системы:
Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
где x, y, z получаются из определителя путем замены 1-го, 2-го или 3-го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
Таким
образом,
Метод Гаусса. Запишем систему в матричной форме, переставив местами 1-е и 3-е уравнения:
Вычтем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на 2. Из третьего уравнения вычтем первое уравнение, умноженное на 5.
Получим:
Вычтем из третьего уравнения второе,
умноженное на 11:
Мы
получили систему:
Из последнего уравнения находим z = -194 / 97= -2.
Подставим z во второе уравнение и найдем y = -17 + 20 = 3.
Подставив y и z в первое уравнение, найдем x = 1 – 6 + 6 = 1.
Решим систему с помощью обратной матрицы.
Для
этого запишем ее в матричном виде:
,
где
-
главная матрица системы,
-
столбец неизвестных и
-
столбец свободных членов.
Так
как главный определитель системы
,
то основная матрица системы А
имеет обратную матрицу А-1.
Для нахождения обратной матрицы А-1,
вычислим алгебраические дополнения
ко всем элементам матрицы А,
причем алгебраические дополнения к
строкам матрицы А
запишем в соответствующие столбцы:
Из полученных чисел составим матрицу и разделим ее на определитель . Таким образом, мы нашли обратную матрицу:
Решение
системы находим по формуле:
