Тема 7: «Нечітка логіка»

1. Концептуальні засади нечіткої логіки.

В класичній математичній логіці обчислення функції від логічних змінних приймають значення 0 або 1. На противагу нечіткій логіці розглянемо проміжні значення між 0 і 1 та визначимо ступінь істинності.

Важливим є те, що в нечітких системах розглядають всі висловлювання одночасно, але ступінь впливу може бути різним. Принцип обчислення суперпозиції багатьох впливів на кінцевий результат покладений в основу нечітких систем. Для обчислення значень істинності застосовують логічну операцію, подібну до логічної операції в класичній логіці, але правило обчислення в ній відміняється.

Нехай х, у- висловлювання, функція визначає ступінь істинності висловлювання г. ґгиіН (г) тоді:

ґгиіН (-іХ) = 1 ~~*ігиіЬ (х)

(ігиііг (х)

Процес обробки нечітких правил складається з 4х правил:

1. Обчислення ступеня істинності лівої частини правил, тобто визначення ступені належності вхідних значень нечітких підмножин, що вказують в лівій частині правильність виводу.

2. Модифікація нечітких підмножин, що вказана в правій частині правильність виводу

у відповідність зі значеннями істинності, що отримані на 1 етапі

3. Об'єднання або суперпозиція модифікованих підмножин.

4. Скаляризація результату суперпозиції, тобто перехід від нечіткого до скалярного.

2. Використання нечіткої логіки в прикладних додатках. В нечітких системах правила виводу описуються наступними правилами: • Якщо ціна велика і попит малий, то оборот малий;

« Якщо витрати на рекламу великі, то обсяг на реалізацію продукції - великий. В даних твердженнях ціна, попит - вхідні змінні, оборот, обсяг реалізація продукції - вихідні змінні, а великий, низький, малий - функції належності або нечіткі підмножини, що визначені на множині значень ціни, попиту, обороту, витрат на рекламу, обсяг реалізації продукції відповідно.

Розглянемо як формується результат в нечіткій системі, база правил якої описується наступними правилами:

1. Якщо витрати на рекламу високі, то обсяг реалізації - високий;

2. Якщо витрати на рекламу середні, то обсяг реалізації - середній;

3. Якщо витрати на рекламу низькі, то обсяг реалізації - низький;

Для опрацювання даних правил необхідно задати функції належності для нечіткої підмножини, що визначені на значеннях витрат на рекламу!: та обсягу витрат на продукцію V. В в реальних системах як правило використовуємо думку експертів в даній області. №1.1Є [0,60] Експерти вважають:

1. якщо витрати <12 тис., то 'витрати на рекламунизькі' - істина;

2. якщо витрати >20 тис., то неправда.

На проміжку 12 - 20 тис. - спадає, зменшується ступінь істинності твердження.

'1,якщо і < 12 , 20-і

низька (0 = \ — ,якщо 12 < і < 20

8

Д якщо і > 20

; г.. Ро

Ш^^ШШвЯШШИЯКШШШШИЯЯЯЯк

3) висловлювання 'витрати на рекламу середні' є неправильним, якщо витрати <12 тис. і >30 тис. на відрізку [12; 20] функція зростає, а на відрізку [20; ЗО] - спадає.

'0, якщо Г < 12 або і > ЗО І - 12

.якщо 12 < і < 20

8

(і) =

т

(середня

30-і ~10

•, якщо 20 < і < ЗО

4) висловлювання 'витрати на рекламу високі' є неправдою, коли витрати < 20. Висловлювання є істинне, якщо витрати >30 тис. Між 20 і ЗО - лінійно зростає.

(0 =

т

і висока

ю

Д,якщо і > ЗО

'0,якщо і < 12 і-20

,якщо 20 < і < ЗО

№2. МЕ [0, 1000]

Експерти вважають:

1) 'Обсяг реалізації продукції низький' - істинна, якщо обсяг < 200. Твердження є неправильним, якщо обсяг > 400. Між 200 і 400 функція лінійно спадає.

II, ЯКЩО V < 200 400 - V

^тУ середня (Ю — ⁴

200

■, якщо 400 < V < 600

₂₀₀ ,якщо 200 < V < 400 0,якщо V > 400

2) Обсяг реалізації продукції є середнім' - неправда, якщо він < 200 або >600. Між 200-400 - функція лінійно зростає, а між 400-600 - функція спадає.

( 0, якщо V < 200 або V > 600 І/ - 200

, якщо 200 < V < 400

600 -1/

200

■

, : і;

■

"ШЯШШЯШПШШШЯШ

3) Обсяг реалізації продукції є високим' - неправда, якщо обсяг < 400, істинне, якщо обсяг > 600, на проміжку 400-600ступ\нь істинності лінійно зростає.

{0,якщо V < 400 V - 400

₂₀₀ ,якщо 400 < V < 600 1, якщо V > 600

Розглянемо як формується результат, як визначення обсягу реалізації продукції, в залежності від того, які будуть значення змінних витрат на рекламу. Визначимо ступінь істинності лівих частин, при підстановці в них змінно початкових витрат на рекламу. Нехай 1=22 тис. грн..,тоді визначимо значення: т_(низ(22)=0, т_(сер(22)=0,8, т_(вис(22)=0,2.

Значення істинності лівої частини кожного твердження використовується для модифікації нечітких множин, що вказуються в правій частині.

При цьому 2 методи:

• мінімуму;

• добутку.

При використанні першого методу функція належить правій частині обмежених значень істинності лівої частини тверджень.

При використанні другого методу значення істинності лівої частини використовуються як коефіцієнт на який множиться значення функції.

Суперпозиція ступінь належності.

Ус =

/Г (іхсіу

1) Перший метод «максимальної комбінації» (тахсотЬіпаїіоп):

М_5ит(х) = тах{т_1к(х)}ух, і^є[і; п]

2) Сумарна комбінація. Згідно методу М_5гіт(х) =1

Скаляризація

Використовується 2 методи:

1) метод тах. В якості скаляризації результату використовується тахзначення результату функції. Як результат - 400 тис, грн.. для визначення результату скаляризації визначаємо координати маси однорідного тіла, що визначає суперпозицію функції належності модифікації.

По ^{йх й}У

Машина Поста (див.Емшь Пост) — це абстрактна, але дуже проста обчислювальна машина. Машина Поста, хоча зовнішньо проста, може здійснювати різні обчислення, для чого потрібно задати початковий стан каретки і програму, яка виконає ці обчислення. Машиною ця математична конструкція названа тому, що при її побудові використовуються деякі поняття реальних машин (елемент пам'яті, команда тощо).

Машину Поста можна розглядати як спрощену модель комп ютера. Насправді, як комп'ютер, так і машина Поста мають:

• неподільні носії інформації (комірки — біти), які можуть бути заповненими або незаповненими:

• обмежений набір елементарних дій — команд, кожна з яких виконується за один такт (крок).

Обидві машини працюють на основі програми. Проте у машині Поста інформація розташовується лінійно і читається підряд, а в комп'ютері можна читати інформацію за адресою; набір команд комп'ютера значно ширший і виразніший за команди машини Поста.

Склад машини Поста

Машина Поста складається із стрічки та каретки (яка також називається головкою зчитування/запису). Стрічка є безмежною і розділена на комірки однакового розміру. Комірка стрічки може бути порожньою, або у ній може перебувати мітка V. Інформація про те, які комірки порожні, а які містять мітки, утворює стан стрічки. Іншими словами, стан стрічки — це розподіл міток по комірках. Стан стрічки змінюється у процесі роботи машини. Зауважимо, що наявність міток у комірці можна інтерпретувати як «1», а відсутність як «0». Таке двійкове представлення інформації подібне до уявлення, яке використовується практично у всіх сучасних комп'ютерах

Каретка може пересуватися вздовж стрічки вліво і вправо. Коли вона нерухома — вона перебуває навпроти однієї комірки стрічки. У такому випадку говорять, що каретка оглядає одну комірку. За одиницю часу каретка може зробити одну із трьох дій: стерти мітку, поставити мітку, зробити рух до сусідньої комірки. Стан машини Поста складається із стану стрічки і розташування каретки. Дії каретки підпорядковані програмі, яка складається з пронумерованого набору команд (команди можна представляти як рядки програми). Команди бувають шести типів: 1. записати 1 (мітку), перейти до і-го рядка програми;

2. записати 0 (стерти мітку), перейти до і-го рядка програми;

3. переміститися вліво, перейти до і-го рядка програми;

4. переміститися вправо, перейти до і-го рядка програми;

5. зупинка;

6. якщо 0. то перейти до і-го рядка програми, інакше перейти до Ко рядка програми.

Графічне представлення команд машини Поста п. —> т Крок вправо п. <— т Крок вліво п. V т Записати мітку

п. X т Стерти мітку

Переглянути комірку: якщо в комірці знаходиться 0, тоді переити на команду з номером а,

п. ? а: Ь

інакше на команду з номером Ь. п ! Зупинка

Програмою для машини Поста називається непорожній список послідовно пронумерованих команд наступної структури: п К т, де п - порядковий номер команди, К - дія, яка виконується кареткою, т - номер наступної команди, яку необхідно виконати.

Під початковим станом каретки розумітимемо її положення навпроти порожньої комірки лівіше за найлівішу мітку на стрічці.

Приклад і

На стрічці в одній з комірок поставлена мітка (решта комірок є порожніми). Каретка стоїть на деякій відстані лівіше за цю комірку. Потрібно підвести каретку до комірки, стерти мітку і зупинити каретку зліва від цієї комірки.

1. —» 2

2. ? 1: З

4 і 30