4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве.

Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы   и  :

Векторы   и   ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны.

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например:  . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор   плоскости единственным образом выражается в виде: , где   – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение   называется разложением вектора   по базису  .

Ортонормированный базис   трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы   данного базиса попарно ортогональны:   и  . Ось   наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. Любой вектор   трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису  :  , где   – координаты вектора   (числа) в данном базисе.

Пример с картинки:  .

5. Длина и направление вектора. Разложение вектора по базису.

Длина вектора – это длина направленного отрезка, представляющего данный вектор. Обозначают длину вектора так:  .

Сумма векторов определяется единственным способом (и только ). Обратная же операция – разложение вектора на несколько составляющих, неоднозначна:  . Для того, что бы сделать её однозначной, необходимо указать направления, по которым происходит разложение рассматриваемого вектора, или, как говорят, необходимо указать базис.

• Базисом в пространстве называют совокупность любых трёх некомпланарных векторов, взятых в определённом порядке .

• Базис на плоскости- совокупность любых двух неколлинеарных векторов, взятых в определённом порядке .

• Базис на прямой– любой ненулевой вектор на этой прямой.

При определении базиса существенным является требование некомпланарности и неколлинеарности векторов. Чтобы понять смысл этого требования, необходимо рассмотреть понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов.

Произвольное выражение вида:  , называют линейной комбинацией векторов .

Линейная комбинация нескольких векторов называется тривиальной, если все её коэффициенты равны нулю.

6. Действие над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности векторов.

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. если  .

Действительно, используя свойства операций умножения вектора на число и сложении векторов будем иметь

.

При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т.е. если  .

Условие коллинеарности двух векторов в коорднинатной форме.

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если  , то .

Доказательство:

1. Пусть вектор   коллинеарен  , тогда найдется λ такое, что  . Значит,   и  . Поскольку разложение вектора по элементам базиса   единственно, то  .

2. Пусть выполняется равенство  . Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда   и, следовательно,  , т.е.  . Теорема доказана.