3.3.2 Теоретичне порівняння оцінок

Усі три оцінки незміщені, що можна перевірити методами теорії ймовірностей. Визначимо дисперсії оцінок :

Dâ₁ = D( ) = ,

Dâ₂ = D( max x_i ) = ,

Dâ₃ = D(x_(k) + x_(k+1))  ,

звідки бачимо, що â₂ — найбільш точна оцінка, а â₃ — найменш.

Пояснимо наведені формули для дисперсій .

Перша :

Dâ₁ = = = = .

Друга. Визначимо функцію розподілу статистики max x_i :

F(z)  P{ max x_i < z} = P{x₁ < z, ..., x_n < z} = = ;

щільність розподілу

p(z) = F(z) = , z[0, a].

Далі

Mâ ₂ = M( max x_i ) = = ,

Mâ₂² = M = ,

Dâ₂ = Mâ₂² — (Mâ₂₎²= ^.

Третя. Визначимо теорему Крамера, відповідно до якої вибіркова p-квантиль має дисперсію, яка приблизно дорівнює , де x_p — теоретична p-квантиль, f(x) – теоретична щільність розподілу вибірки. У нашому випадку (при n = 2k) статистика

0.5 (x_(k) +x _(k+1) )  m

` є вибірковою медіаною (p = 0.5) , крім того, f(x_0.5) = 1/a , â₃ = 2m, і тому

Dâ₃=D2m = = .

3.3.3 Статистичне порівняння оцінок

Далеко не завжди вдається аналітично визначити дисперсію оцінки. Тому виникають питання: як її визначити експериментально , якою з оцінок користатися? За однією вибіркою не можна судити про розкид значень оцінки, оскільки значення лише одне; необхідно мати кілька вибірок, наприклад, k = 20, (або хоч би 5  10), оцінити розкид значень для кожної оцінки і віддати перевагу тій оцінці (тому способу оцінювання), для якої розкид є меншим. Якщо ж вибірка тільки одна, то можна (якщо n є достатньо великим) розбити її довільним чином на кілька вибірок, і по них порівнювати якість різних оцінок.

Таблиця 3.1- Розкид значень різних оцінок

		â1	â2	â3
	amin	7.98	9.21	6.04
	amax	13.80	10.98	15.69
n = 10	w	5.82	1.77	9.65
	Mean	9,32	9,89	9,64
	Sa	1.51	0.53	2.35
	amin	8.59	9.77	7.02
	amax	11.35	10.24	12.89
n = 40	w	2.76	0.47	5.86
	Mean	9,94	10,01	10,19
	Sa	0.84	0.14	1.56
	amin	9.12	9.85	8.67
	amax	11.26	10.06	12.24
n = 160	w	2.14	0.21	3.57
	Mean	10,016	10,003	9,961
	Sa	0.50	0.05	0.94

Сформуємо k =20 вибірок із розподілу R[0, a=10] різних об’ємів n=10, 40, 160 і визначимо розкид оцінок. Характеристиками розкиду значень а₁,...,а_k оцінки â будемо вважати розмах

w = max a_i - min a_i

і середньоквадратичне відхилення (скВ)

S_a= , .

Як приклад у таблиці 3.1 подані результати обчислення трьох оцінок, які треба отримати у процесі роботи.

Порівняння значень розмахів w і скВ S_а для 3-х оцінок показує, що оцінка â₂(х₁, ... , х_n) є найбільш точною, а оцінка â₃(х₁, ... , х_n) - найменш.

Приведені результати статистичного дослідження 3-х способів обробки спостережень показують наступне.

• Значення оцінок концентруються в околі оцінювального параметра (проявляється властивість незміщеності оцінок).

• З ростом числа спостережень величина розкиду зменшується, точність оцінок підвищується (проявляється властивість змістовності).

• Різні оцінки розрізняються по величині середньої помилки, звідки зразуміло, що різні способи обробки спостережень потрібно порівнювати за величиною середнього значення деякого критерію якості, наприклад, середнього значення квадрата помилки.