III. Выполнение

1. Экономическая постановка задачи

Нахождение вероятности разорения страховой компании является одной из важнейших задач страховой математики, так как финансовый риск и связанная с ним опасность разо­рения объективно присутствуют в деятельности любой страховой компании. Оценка этого риска представляет фундаментальный интерес для компании и служит основой для принятия важнейших решений. В частности знание вероятности разорения позволяет найти оптимальную величину страховой премии.

Проблема обеспечения финансовой устойчивости страховой ком­пании является комплексной; ее изучение и решение предполагают усилия специалистов в разных областях, прежде всего руководства компании, юристов, экономистов. Однако многие важные задачи носят чисто математический характер. В рамках специальной ма­тематической теории — теории риска, разработана система понятий, моделей и методов, которые позволяют количественно оценивать финансовые риски в деятельности страховой компании. Имея в ви­ду присутствие факторов случайности, общематематической базой для теории риска служат теория вероятностей и математическая статистика.

2. Математическая постановка задачи. (Модель Крамера-Лундберга)

Пусть заданы следующие независимые объекты:

- число выплат за временный промежуток [0,t) - пуассоновский процесс N(t) с интенсивностью ;

- размер выплат страховой компании клиентам - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием и функцией распределения F(x), F(0)=0.

О величинах N(t), считающих количество требований, предположим, что

1) N(0)=0;

2) ;

3) .

Таким образом, величина показывает число исков, поступивших в промежутке времени (t,t+h).

Кроме того, компания получает страховые взносы от клиентов с интенсивностью с (с – некоторая положительная постоянная).

Начальный капитал равен х.

При таком описании капитал компании имеет вид

.

Процесс риска в данном случае , и в силу независимости и имеем, что . Премии, собранные к моменту t П(t)=сt – линейная функция времени. Выбирая коэффициент нагрузки , получаем скорость поступления премий .

Найдем вероятность неразорения страховой компании

.

Сначала найдем условия дифференцируемости функции , предполагая, что F(x) имеет плотность. Поскольку разорение не может произойти до первого скачка пуассоновского процесса Т₁, то можно записать

,

где f(x) – плотность распределения F(x).

Заменой переменных q=x-y последнее выражение приводится к виду:

.

Следовательно, если , то .

Далее предполагается, что .

По формуле полной вероятности и свойству ординарности пуассоновского процесса

.

Член в первом слагаемом правой части разложим по формуле Тейлора:

,

.

Разделим обе части последнего равенства на , устремим к нулю и получим интегродифференциальное уравнение:

.

Зная среднее число исков в некоторый промежуток времени, закон распределения размера выплат клиентам, величину относительной защитной надбавки и начальный капитал, решив уравнение, можно получить значение вероятности неразорения страховой компании.

3. Аналитическое решение задачи

Для случая экспоненциально распределенных выплат решение интегро-дифференциального уравнения выписывается в явном виде. Действительно, подстановкой сводим уравнение (1) к следующему

.

Продифференцируем обе части этого уравнения, затем выполним интегрирование по частям и получим

где вместо интеграла в квадратных скобках поставлено его выражение через исходное интегродифференциальное уравнение.

Таким образом, приходим к дифференциальному уравнению

,

точное решение которого ищется в виде

,

где А и В – константы.

Неравенство отражает положительность коэффициента нагрузки ( , , ), и, следовательно, .

Неизвестные константы А и В можно найти из следующих равенств:

и .

Таким образом, приходим к следующему явному выражению для вероятности неразорения:

.

В случае произвольного распределения выплат F(x) получение аналитического выражения для Ф(х) затруднительно, и при решении уравнения необходимо использовать численные методы.

Численное решение задачи

Пусть L достаточное большое значение капитала компании. В этом случае для интегродифференциального уравнения получим следующую краевую задачу.

; ,

,

.

4.Численное решение задачи.

Введем на отрезке равномерную сетку ,

где , , .

Производную в узле аппроксимируем односторонней правой производной:

,

или ,

где , .

Интеграл представим в виде суммы интегралов

; .

Интеграл под знаком суммы вычислим с помощью формулы трапеции .

Легко видеть, что отрезок интегрирования имеет длину шага h сетки . . Если h выбрать достаточно мелким, то

,

или

; ,

где .

Уравнение с учетом выражений примет вид:

; .

Учитывая, что , получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

, .

Данная система состоит из N-1 уравнений относительно N+1 неизвестных. Недостающие два уравнения получим из граничных условий.

,

.

Таким образом, получили следующую систему N линейных алгебраических уравнений относительно N неизвестных:

,

; ,

.

Решив данную систему линейный алгебраических уравнений, найдем значения функции Ф(х) в узлах сетки .

1. Численное исследование задачи и анализ результатов

На рисунке 1 построены зависимости вероятности неразорения Ф(х) страховой компании от величины начального капитала х, принадлежащего интервалу [0;6000] при величине коэффициента нагрузки =0,25. Сплошная кривая соответствует численному решению задачи, штриховая – аналитическому решению задачи. Из рисунка видно, что уже при значениях х=3500 тыс. руб. вероятность неразорения близка к единице. Кроме того, построенные зависимости показывают, что предложенный численный метод решения краевой задачи дает хорошее совпадение с известным точным решением.

Пр х, тыс. руб.

Рис.1. Зависимость вероятности неразорения страховой компании от величины начального капитала при =0,25

На рисунке 2 построены зависимости вероятности неразорения Ф(х) страховой компании от величины начального капитала х, принадлежащего интервалу [0;10000] при различных значениях коэффициента нагрузки.

Рис. 2. Зависимость вероятности неразорения страховой компании от величины начального капитала при различных значениях

Сплошная линия соответствует вероятности неразорения при величине =0.1, пунктирная линия - =0.2, штриховая - =0.3. При 0<x 8000 вероятность неразорения зависит от величины . Причем с увеличением вероятность неразорения увеличивается. При х>8000 вероятность неразорения близка к единице и не зависит от величины коэффициента нагрузки.