§ 1.4 Основы математического аппарата к.Ф.

1.4.1. Пси-функция

Описание объекта посредством т.н. волновой “пси-функции”.

ψ(r,t) – однозначная и непрерывная функция координат, времени и некоторых других параметров.

Физический смысл ψ(r,t) следует из условия:

dw = ψ ψ^*d ³r,

где d ³r = dx·dy·dz.

Из равенства полной вероятности достоверного события единице следует условие её нормировки:

= d ³r = 1 (1.4)

Для свободной частицы (1.4) приводит к расходимости, что трактуют как равенство вероятностей для локализации в любом состоянии.

1.4.2. Суперпозиция состояний и волн де Бройля.

Часто в одних условиях объект находится в разных состояниях (неодинаковы ψ – функции и значения их характеризующих величин).

Если ψ₁ и ψ₂ - две таких функции, описывающие систему (частицу) в отличных состояниях, то найдётся

Ψ = а₁ ψ₁ + а₂ ψ₂,

описывающая систему в обоих состояниях сразу. Причём │ а₁│² и │ а₁₂│²

определяют вероятность пребывания в каждом из них. В более полном случае

Ψ =

Заметим, что волну де Бройля можно представить в виде суперпозиции гармонических волн (в виде ряда или интеграла, как в оптике).

Существенно для системы из двух невзаимодействующих систем, что если

Ψ_1,2( , ) = ψ₁( ψ₂²( ,

то │Ψ_1,2( , ) │²= │ψ₁( ₁)│² ·│ψ₂( ₂)│²

в силу независимости вероятностей.

1.4.3. Вычисление средних. Операторы

Средние значения физ. величин, измеряемых в опытах, находят с использованием математических операторов, преобразующих ψ – функции, включающие указанные величины, по определённым правилам. Основа нахождения средних диктуется наличием функции плотности вероятности, т.е. квадрата модуля волновой функции │ ψ │².

Общее обозначение оператора физ. величины f есть - . Во многих случаях действие оператора сводится к дифференцированию, а иногда, просто к умножению на преобразуемую функцию. В результате возникает новая величина f – называемая собственным значением оператора.

ψ = f ψ .

При определении среднего интегрирование по всему пространству обеспечивает независимость от координат:

f = ) d ³r

Уравнение для собственных функций оператора

Если в состоянии ψ_n физ. величина f имеет одно значение f_n и имеем , тогда неизбежно выполняется

ψ_n = f_n ψ_n .

Говорят о собственных функциях и собств. значениях оператора.

Для среднего

f = ψ_n d ³r = f_n

Часто у оператора в заданном интервале имеется спектр (набор избранных) собств. функций и соответственно собственных значений оператора.

1.4.4. Операторы некоторых ф. величин

1. Оператор скалярной функции координат равен самой функции

( ) φ( )

Примеры: координата, радиус-вектор, потенциальная энергия.

2. Оператор проекции импульса и вектора импульса

При свободном движении частицы вдоль оси х оператором величины p_x является _x = - jħ , если ψ_p(x) = A ⁾ – волна де Бройля.

_x ψ_p(x) = p_x ψ_p(x)

Для вектора импульса соответственно:

= -jħ = - jħ ( _x + _y + _z).

3. Оператор кинетической и полной энергии частицы

Имеем: ℇ_к = = + +

Т.к. ² ψ = - ħ² ψ = ψ

Тогда: = - [ + + ] = - =

Во внешнем поле

+ (r) = = - + (r)

Уравнение для получения собственных значений

ψ = ℇ ψ

Гл. 2 Уравнение Шредингера и его приложения