Линейные преобразования

Пусть L - линейное пространство.

Определение. Отображение A: L→ L называется линейным преобразованием, если для ∀ f ,g ∊ L, ∀ α∊ R справедливо

i) A( f + g) = A( f) + A(g ) ( аддитивность),

ii) A(α ^ f) = α ^ A( f) (однородность).

/ Запись A: L→ L означает, что каждому элементу из L сопоставляется некоторый элемент из L./

Другими словами, линейное преобразование – это действие на элементы пространства, сохраняющее в определённом виде линейные операции.

Пример 3.

Пусть L = R² - двумерное векторное пространство с прямоугольной системой координат; A - симметрия относительно оси абсцисс.

Покажем, что А является линейным преобразованием.

Это очевидно из графических соображений. Например, проиллюстрируем свойство аддитивности (рис. 1):

Рис. 1. Линейность осевой симметрии

Линейные преобразования на R²

Для задач компьютерной графики очень важно уметь описывать формулами те или иные геометрические действия над точками плоскости (пространства). Многие из этих действий могут быть сведены к линейным отображениям, имеющим очень простое аналитическое задание. Докажем, что каждое линейное преобразование на R² определяется некоторой матрицей 2x2. Отметим, что точка на плоскости отождествляется с вектором, проведённым из начала координат в эту точку.

Теорема 1. Если A: R²→ R² - линейное преобразование, то

A = , где , , и - некоторые числа, определяемые спецификой отображения.

Доказательство. Пусть задана некоторая точка некоторый вектор

В прямоугольной системе координат он имеет вид: , где , – единичные векторы на осях координат. Из линейности преобразования получаем:

.

Видим, что образ вектора определяется его координатами и , а также образами единичных векторов.

Пусть вектор имеет в той же системе координат координаты , а вектор ) . Тогда можно записать:

.

Что и требовалось доказать.

Замечание. Получается, что столбцами матрицы линейного преобразования являются координаты образов единичных базисных векторов.

Примеры 4-7.

Задать аналитически следующие преобразования на R².

4. Симметрия относительно оси Ox.

В примере 3 показано, что это преобразование является линейным. Обозначим его А. По доказанной теореме преобразование в координатах имеет вид:

A = . Найдём коэффициенты матрицы.

1 способ. Образом вектора = при симметрии относительно оси Ох является вектор A( = , т.е. =

В координатах получаем:

при всех x, y.

В первом уравнении правая часть не зависит от y => = 0 => = 1.

Во втором уравнении правая часть не зависит от x => = 0 => = -1.

Значит, матрица отображения имеет вид: A = _.

2 способ. Для отыскания 4-х неизвестных коэффициентов матрицы преобразования составим 4 уравнения. Достаточно рассмотреть отображение двух конкретных векторов. Например, найдём образы векторов и при преобразовании A (рис. 2). Получим

, т.е. = ; .

.

Отсюда, .

Отметим, что такой способ не является оптимальным для нахождения коэффициентов матрицы линейного преобразования, но он вполне оправдан для нахождения формул преобразований более общего вида.

Рис. 2. Пробные векторы

3 способ. Воспользуемся замечанием к утверждению теоремы 1. Найдём образы базисных единичных векторов (рис. 3):

= и .

Координаты полученных векторов являются столбцами матрицы отображения, поэтому A = _.

5. Симметрия относительно оси Oy. Рис. 3. Базисные векторы

Отображение принципиально не отличается от предыдущего, обозначим его также А. Рассмотрим только более эффективные способы поиска формулы преобразования.

Используя 1 способ рассуждения, получаем: = , т.е.

при всех x, y.

В первом уравнении правая часть не зависит от y => = 0 => = -1.

Во втором уравнении правая часть не зависит от x => = 0 => = 1.

Значит, матрица преобразования имеет вид: A = _.

По 3 способу рассуждения достаточно найти

и . Эти векторы образуют столбцы матрицы.

6. Симметрия относительно прямой y = x.

Очевидно, это преобразование является линейным, как и два предыдущих преобразования осевой симметрии. Снова обозначим его А.

Используя 1 способ рассуждения, получаем: = , т.е.

при всех x, y (рис. 4).

В первом уравнении правая часть не зависит от x => = 0 => = 1.

Во втором уравнении правая часть не зависит от y = 0 => =1.

Значит, матрица преобразования имеет вид: A = _.

По 3 способу рассуждения достаточно найти образы единичных векторов:

и .

Эти векторы образуют столбцы матрицы.

Рис. 4. Симметрия относительно y = x

7. Центральная симметрия (поворот на угол ) относительно начала координат.

Линейность данного преобразования очевидна. Используя 1 способ рассуждения, получаем: = , т.е.

при всех x, y. Из чего следует = -1, = 0 и

= 0, = -1. Значит, матрица преобразования имеет вид .

Согласно 3 способу рассуждения достаточно найти образы единичных векторов: . Они будут столбцами матрицы.

8. Поворот на угол α >0 ( против часовой стрелки).

Рассмотрим единичные векторы , и найдём их образы.

,

.

Следовательно,

.

Рис. 5. Поворот против часовой стрелки

Замечание.

Матрицу поворота на угол α<0 /поворота по часовой стрелке/ можно

получить, подставив в предыдущую матрицу вместо α угол –α:

= .

Упражнения.

1. Задать аналитически преобразование сжатия плоскости в 2 раза относительно начала координат.

2 . Задать аналитически преобразование симметрии

прямой относительно .

Указание. A , A .

Ответ: A = .

Рис. 6. Симметрия относительно y =-x

3. Задать аналитически преобразование симметрии относительно прямой .

Указание. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образуемого этой прямой с положительным направлением оси абсцисс. Удобно применить способ рассуждения с единичными базисными векторами.

Ответ: .