3.4. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен.

1) 2) 3) 4)

Интегралы 1), 2) сводятся к табличным путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

Интегралы 3), 4) сводятся к 1), 2) путем выделения из числителя производной квадратного трехчлена.

Пример. Найти неопределённый интеграл

Выделив из квадрата трёхчлена полный квадрат x²+4x+5=x²+4x+4+1=(x+2)²+1, записав d(x+2) вместо dx, получим:

Пример. Найти неопределённый интеграл .

= .

3.5. Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональных функций аргумента t универсальной тригонометрической подстановкой При этом используются соотношения:

Пример. Найдите неопределённый интеграл

Полагаем , тогда

2. Если подынтегральное выражение представляет собой произведение двух тригонометрических функций с разными аргументами, то для вычисления интеграла используют формулы, позволяющие преобразовать произведение в сумму:

Пример. Найдите неопределённый интеграл .

Решение. Применяем правило 2; разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, пользуясь тригонометрической формулой, затем интегрируем:

3а. Если подынтегральное выражение имеет вид: sin^mxcosⁿx, причем одна из степеней нечетная, тогда нечетную степень преобразовывают к виду 2l+1, выделяя первую степень и делая соответствующую замену. Например: пусть нечетной является степень m, тогда имеем: m=2l+1. Sin^mx=sin^2l+1x=sin^2lxsinx. Интеграл примет вид: _.

_{Таким образом получим: sinxdx=-dcosx и с учетом основного тригонометрического тождества наш интеграл преобразуется к виду: . Далее, возводя в степень и раскрывая скобки, мы получим интеграл от степенных функций, где переменной интегрирования будет cosx.}

_{Пример. Найти неопределённый интеграл}

_{3б. Если же в подынтегральном выражении sin}^m_xcosⁿ_{x обе степени} чётные, то для вычисления интеграла необходимо понизить степень один или несколько раз, воспользовавшись для этого формулами: ; ;

Пример. Найдите неопределённый интеграл

3.6. Интегрирование дробно-рациональных функций.

Рассмотрим интегралы от важного класса дробно-рациональных функций вида

.

Если , рациональную функцию называют неправильной и называют правильной при .

При интегрировании рациональных функций применяют преобразования:

1. Неправильную рациональную функцию представляют, например, путем деления уголком в виде суммы многочлена степени и правильной рациональной функции. Эта операция называется выделением целой части.

2. Правильная рациональная функция представляется в виде суммы элементарных дробей вида , где квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Такое представление делается после разложения знаменателя на множители.

В конечном итоге интеграл от рациональной функции сводится к сумме интегралов от элементарных дробей и многочлена.

Схема разложения дроби на простейшие.

1. В разложение знаменателя входят только множители первой степени и ни один из них не повторяется. Тогда:

A,B,…L находятся по методу неопределенных коэффициентов:

1) Освобождаются от знаменателей.

2) Приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях. Получается система 1 степени.

3) Решается система, она имеет единственное решение.

2. В разложении знаменателя входят только множители первой степени и некоторые из них повторяются k раз.

3. В разложении знаменателя входят множители 2 степени (не разложимые на действительные многочлены 1 степени), и не один из них не повторяется. Тогда в разложении дроби каждому множителю соответствует простейшая дробь . Множителям первой степени (если они есть) соответствует простейшие дроби типа .

4. В разложении знаменателя входят множители 2 степени (не разложимые на действительные многочлены 1 степени), и некоторые из них не повторяется. Тогда в разложении дроби каждому множителю , повторяющемуся k раз, соответствует сумма простейших дробей вида:

.

Примеры.

Выделить целую часть рациональной функции и выполнить интегрирование.

Делаем деление уголком по следующей схеме до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени знаменателя:

Результат деления имеет вид

.

Многочлен не имеет действительных корней, поэтому разложение получившейся правильной рациональной функции невозможно и приступаем к интегрированию.

Пример.

Разложить на множители многочлены: , и .

Для разложения многочлена на множители в общем случае необходимо найти его корни. Поэтому . Полезно воспользоваться известными формулами или применить искусственный прием:

,

.

Пример.

Разложить на элементарные дроби и проинтегрировать функции

и .

Разлагаем знаменатель на множители

и по виду знаменателя записываем искомое разложение

.

Коэффициенты , и находим из равенства , приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Получим систему

откуда , , .

Интегрируя сумму элементарных дробей с учетом найденных коэффициентов, приходим к результату

.

Разложение на элементарные дроби функции проводим в аналогичной последовательности.

,

где , , , ;

Пример.

Найти и .

В некоторых случаях использование специальных приемов позволяет избежать трудоемких преобразований, свойственных общей схеме. Например, в задачах этого номера преобразования можно выполнить следующим образом:

Общая схема интегрирования дробных рациональных функций

- выделение целой части функции, в результате которого получается представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби;

- разложение правильной дроби на сумму простейших дробей;

- нахождение интегралов от простейших рациональных дробей и суммирование результатов.