Применение формулы Кардано

Пример 1. Решить уравнение x³ + 3x² + 4x + 2 = 0.

Решение:

Для данного уравнения a = 1, b = 3, c =4, d = 2.

Замена переменной x = y - = y - = y - 1

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как Δ >0 => каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

x₁ = y₁ - 1 = 0 - 2 = -1

x₂ = y₂ - 1 = i - 1 = i - 1

x₃ = y₃ - 1 = -i - 1 = -i – 1

Ответ:-1,i-1,-i-1

Пример 2. Решить уравнение x³ + 12x² + 36x + 32 = 0.

Решение:

Для данного уравнения a = 1, b = 12, c =36, d = 32.

Замена переменной x = y - = y - =y - 4

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения:

Так как Δ = 0 => уравнение имеет 2 действительных корня:

Тогда для корней исходного уравнения получаем

Тогда для корней исходного уравнения получаем

x₁ = y₁ - 4 = -4 - 4 = -8

x₂ = y₂ - 4 = 2 - 4 = -2

Ответ:-8,-2

Пример 3. Решить уравнение x³ + 9x² + 9x - 137 = 0.

Решение:

Для данного уравнения a = 1, b = 9, c =9, d = -137.

Замена переменной x = y = y = y - 3

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как Δ >0 => каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение x³ + 18x² + 90x + 50 = 0.

Решение:

Для данного уравнения a = 1, b = 18, c =90, d = 50.

Замена переменной x = y = y = y - 6

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения:

Так как Δ > 0 => каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем

Ответ:

Пример 5. x³+4x²+6x+3=0

Решение:

Для данного уравнения a=1, b=4, c=6, d=3.

Замена переменной x=y + 2. Получим уравнение y³ - 7y+6=0

Найдем значение выражения + = => уравнение имеет три различных действительных корня

y³ - 6y - y+6=0 => y(y²-1) - 6(y-1)=0 => (y-1)(y²+y-6)=0

Осталось только найти корни квадратного многочлена

y²+y - 6=0 => y₁= -3; y₂= 2

В итоге получаем, что y₁= -3, y₂= 1, y₃= 2.

Выполним обратную замену и получим, что x₁= -1, x₂= 3, x₃= 4

Ответ: -1; 3; 4.

Схема Горнера

Пример 1. Решить уравнение x³ + 6x² + 3x - 10 = 0.

Решение:

Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень x = 1. Делением на x - 1 левой части уравнения по схеме Горнера получаем

Следовательно, x² + 7x + 10 = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем

А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения a = 1, b = 6, c =3, d = -10.

Замена переменной x = y = y = y - 2

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как Δ <0 => каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку q = 0 => φ = =>

Тогда для корней исходного уравнения получаем

x₁ = y₁ - 2 = 3 - 2 = 1

x₂ = y₂ - 2 = - 3 - 2 = -5

x₃ = y₃ - 2 = 0 - 2 = -2

Ответ:1,-5,-2.

Пример 2. Решить уравнение 4x³ - 19x² + 19x + 6 = 0

Решение:

Сначала нужно найти методом подбора один корень. Обычно, это делитель свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются  ±1, ±2, ±3, ±6

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера

	4	-19	19	6
2	4	-11	-3	0

Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители:

4x³ - 19x² + 19x + 6 = (x - 2)(4x² - 11x - 3)

Осталось, лишь найти корни квадратного уравнения

4x² - 11x - 3 = 0 D = b² - 4ac = (-11)² - 4 ×4 × (-3) = 169 D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня

x_1,2= = => x= -0,25; x=3

Ответ: 2; 3; -0,25.

Пример 2. x³-5x²+4x=0

Решение:

	1	-5	4	0
1	1	-4	0	0

Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители:

x³ - 5x²+4x=(x-1)(x²-4x)=x(x-1)(x-4)

Ответ: 0;1;4.

Пример 3. 2x³-x+1=0

Решение:

	2	0	-1	1
-1	2	-2	1	0

2x³ - x+1=(x+1)(2x²-2x+1)

Осталось найти корни квадратного многочлена, но его D<0.

Ответ: -1.

Пример 4. x³ - 7x²+13x-6=0

Решение:

	1	-7	13	-6
2	1	-5	3	0

x³-7x²+13x-6=(x-2)(x²-5x+3)

Осталось найти корни квадратного многочлена

x² - 5x+3=0

D=b²-4ac=5² -4×1×3=25-12=13

x_1,2= = =>x= ; x=

Ответ: ;

Пример 5. 2х³-21х²+37х+24

Решение:

	2	-21	37	24
3	2	-15	-8	0

2х³-21х²+37х+24=(x-3)(x²-15x-8)

Осталось найти корни квадратного трёхчлена

x² - 15x - 8=0

D = b²-4ac=15²+4×8=225+32=257

x_1,2= = =>x= ; x=

Ответ: ; .