Раздел 2. Уравнения и задачи математической физики.

2.1. Уравнения колебаний:

а) поперечные колебания струны:

_где:

б) продольные колебания упругого стержня:

где: - площадь поперечного сечения стержня;

- модуль Юнга в точке ;

- внешнее усилие.

в) поперечные колебания мембраны:

если , тогда уравнение колебаний мембраны выглядит так:

_где

граничные условия:

_{для жестко закрепленных краев -}

_{начальные условия:}

г) трехмерное волновое уравнение:

д) телеграфное уравнение:

где - скорость передачи сигнала по кабелю.

2.2. Уравнение диффузии и теплопроводности:

_{Закон Фурье -}

2.3. Стационарные уравнения:

_при

_{переходит в уравнение Пуассона}:

_при

_{переходит в уравнение Лапласа:}

а) уравнение электростатики:

заряд в единице объема -

_{вектор напряженности электрического поля}

где - потенциал электростатического поля.

б) уравнение гидродинамики.

_где - потенциал скорости;

2.4. Классификация уравнений второго порядка:

а) классификация уравнений в точке;

б) классификация уравнений с двумя независимыми переменными.

2.5. Преобразование уравнений второго порядка с помощью замены переменных:

где - заданные функции от

а) в уравнения гиперболического типа;

б) в уравнения параболического типа;

в) уравнения эллиптического типа.

преобразуется к виду:

1. Составить квадратичную форму уравнения:

2. Определитель квадратичной формы:

а) , , тогда можно записать

форма определенная и уравнение принадлежит к эллиптическому типу;

б) возможны 2 случая, когда и в зависимости от знак меняется, то уравнение принадлежит к гиперболическому типу, если , то форма - неопределенная и уравнение принадлежит к гиперболическому типу.

в) тип уравнения – параболический.

3. Составляем характеристическое уравнение:

и определяем корни этого характеристического уравнения

4. Определяем новые переменные:

а) для уравнения гиперболического типа

б) для уравнения эллиптического типа вводим переменные α и β

в) для уравнения параболического типа т.к. корень единственный выбираем переменные:

5. Находим частные производные по переменным для чего дифференцируем

производные в (…) нужно посчитать, без (…) записать в общем виде.

Постоянные в уравнениях канонической формы:

2.6. Классификация задач математической физики:

_{а) задача Коши для уравнений гиперболического типа} -

ставится следующим образом:

_{найти функцию}

удовлетворяющую уравнению данного типа, в полупространстве при , и начальным условиям при

_{Для уравнений диффузии} и теплопроводности параболического типа -

задача Коши ставится следующим образом:

_{найти функцию}

удовлетворяющую уравнению этого типа, в полупространстве при , и начальным условиям при

б) краевая задача для уравнений эллиптического типа –

ставится следующим образом:

_{найти функцию}

_{удовлетворяющую} уравнению данного типа, в области и граничным условиям на границе следующего вида:

_где заданные непрерывные функции на причем

_{Граничное условие 1-го рода}

_{Граничное условие 2-го рода}

_{Граничное условие 3-го рода}

_{Для уравнения Лапласа и уравнения Пуассона краевая задача первого рода называется задачей Дирихле: найти функцию}

удовлетворяющую, в области уравнению и граничному условию на поверхности _.

_{Граничное условие 1-го рода}

Граничное условие 2-го рода:

_{называется задачей Неймана:} найти функцию

_{удовлетворяющую}, в области уравнению или и граничному условию на поверхности _.

Функция должна удовлетворять дополнительному условию разрешимости задачи Неймана. Воспользуемся равенством

_{В уравнении Лапласа условие разрешимости принимает вид:}

_{Используется теорему о среднем , - среднее значение функции .}

_{Краевые задачи 1-го, 2-го, 3-го рода для уравнения Лапласа носят названия гармонических краевых задач.}

в) смешанная задача для уравнения колебаний гиперболического типа –

ставится следующим образом:

_{найти функцию}

удовлетворяющую уравнению данного типа, в полупространстве при , и начальным условиям при и

при этом должны выполняться условия гладкости:

и условия согласованности: