Задача №2 Обработка многократного измерения

Исходными данными для выполнения работы являются 14 вариаций значений, полученных при многократном измерении содержания ртути в воде Нg, мг/л. Для определения количества содержания ртути в воде произведено 110 измерений в разных частях водоема. Измерения проводились следующим образом, в разных точках водоема бралось по 1 литру воды, и определялась масса содержания в них ртути. Результаты, общее число измерений в серии многократного измерения и число повторений каждого результата, представлены в таблице № 2.

Таблица 2- исходные данные

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Результат измерений, мг/л	6,10	6,15	6,20	6,25	6,30	6,35	6,40	6,45	6,50	6,55	6,60	6,65	6,70	6,75
Количество повторений mi	2	3	6	8	11	12	13	14	12	10	8	6	3	2

Требуется определить:

-Провести обработку экспериментальных данных и объяснить физический смысл результата.

-Проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины x в 1 литре воды по критерию Пирса.

- В случае подтверждения гипотезы следует подтвердить для истенного значения количество ртути в 1 литре воды.

Рассеяние случайных значений, зависящих от множества факторов, ни один из которых не является преобладающим, подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

При обработке результатов многократного измерения проверяется гипотеза: подчиняется результат измерения нормальному закону распределения вероятности или нет.

Для этого выполним следующие действия:

1) Выбираем минимальное и максимальное количество содержания ртути в пробе:

Smin=6,10 мг/л

Smax=6,75 мг/л

Определяем количество интервалов по формуле:

, примем К=7.

Определяем шаг интервала по формуле:

Полученные интервалы заносим в таблицу № 3, и в ней же проводим вычисления середины интервала Х^*_i (слаживаем границы интервала и делим на 2), частоты интервала n_i (количество значений в данном интервале с учетом повторений) и относительные частоты интервала Р^*_i (n/число измерений).

Таблица 3 – полученные интервалы

Интервалы		[6,10 6,19]	[6,19 6,28]		[6,28 6,37]		[6,37 6,46]		[6,46 6,55]			[6,55 6,64]		[6,64 6,73]		∑
Середина Х*i	6,145			6,235		6,325		6,415		6,505			6,595		6,685
частоты ni	5			14		23		27		22			8		11		110
относительные частоты интервала Р*i	0,0454			0,1272		0,209		0,2454		0,2			0,0727		0,1		1
Х	0,2765			0,7918		1,3219		1,5716		1,301			0,4748		0,6685		6,4061
D	0,0030			0,0037		0,0013		0,00001		0,0019			0,0025		0,0077		0,02011

Затем вычисляем выборочную среднюю по формуле:

Вычисляем выборочную дисперсию по формуле:

Вычисляем среднеквадратичное отклонение по формуле:

Предполагаем, что распределение нормальное, и по правилу трех сигм определяем интервал:

Все значения измерений содержания ртути попадают в данный интервал.

Проверяем гипотезу нормального распределения по критерию Пирсона, для этого составим таблицу, в которой отразим эмпирические и теоретические частоты в интервалах. Данные представлены в таблице № 4.

Таблица 4- теоретические и эмпирические частоты

Интервалы		[6,10 6,19]	[6,19 6,28]		[6,28 6,37]		[6,37 6,46]		[6,46 6,55]			[6,55 6,64]		[6,64 6,73]		∑
Теоретическая частота Ni i	5			14		23		27		21			12		4		106
Эмпирические частоты ni	5			14		23		27		22			8		11		110
(ni-Ni)2/Ni	0			0		0		0		0,047			1,33		12,25		13,627

Теоретические частоты в интервале определяются по формуле:

,

где Р_j - теоретическая вероятность попадания отдельного значения в j-интервал. Которая определяется по формуле:

При использовании критерия Пирсона за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерения принимается сумма квадратов отклонений частностей от теоретической вероятности попадания отдельного значения результата измерения в j-интервал которое определяется по формуле:

=13,627.

Затем сравниваем рассчитанное значение с табличным значением χ² с заданным уровнем значимости равным 95% или α=0,05 и количеством степеней своды определенным по формуле для нормального закона распределения:

,

где К-число интервалов.

Табличное значение χ²_0,05;4 составило=9,5

Так как соблюдается условие:

Гипотеза о нормальном распределении не подтвердилась, поэтому нельзя сделать оценку истинного количества содержания ртути в одном литре воды

Выводы: При обработке результатов многократного измерения содержания ртути в воде мы установили, что с 95% вероятностью значения содержания ртути в данном водоеме не подчиняется нормальному закону распределения вероятности (закону Гаусса), после проведения обработки данных результатов необходимо сократить количество повторений отбора проб воды.