2.3. Функция распределения случайной величины.

К оличество значений непрерывной случайной величины бесконечно, невозможно перечислить все ее возможные значения, поэтому необходимы другие способы ее задания. Поэтому для описания закона распределения случайной величины Х возможен и другой подход. В этом случае рассматриваются не вероятности событий Х = х для разных х, а вероятности события X < x, где х – текущая переменная. Под выражением X < x понимается событие «случайная величина Х примет значение меньшее, чем х».

Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция F(x), равная в каждой точке х вероятности того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем х:

.

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения вероятностей является общим способом задания случайной величины, применимым как для дискретной случайной величины, так и для непрерывной.

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х₁, х₂, …, х_n, интегральная функция распределения будет иметь вид

И нтегральная функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Определение: Случайную величину Х называют Для непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Свойства функции распределения вероятностей:

1. Поскольку функция распределения равна вероятности, ее значение находится в промежутке от 0 до 1: .

2. Функция распределения вероятностей является неубывающей на всей числовой оси, т.е. если х₁ < х₂, то F(х₁) ≤ F(х₂).

3. Вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал [a; b), равна разности значений функции распределения в конце и в начале интервала:

.

4. Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат всей числовой оси, то справедливы следующие соотношения:

и .

5. Если все значения случайной величины Х принадлежат отрезку [a; b], то значение функции распределения равно нулю при и равно единице при х > b.

2.4. Плотность распределения вероятностей.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины может быть задано двумя способами:

• с помощью функции распределения вероятностей;

• с помощью плотности распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей случайной величины называется производная от функции распределения вероятностей:

.

Плотность распределения вероятностей задается только для непрерывной случайной величины. Ее называют также законом распределения непрерывной случайной величины или дифференциальной функцией распределения.

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. З начение плотности распределения вероятностей неотрицательно, так она является производной от неубывающей функции:

.

2. Вероятность попадания значений случайной величины в интервал (a; b) может быть найдена по формуле:

.

Геометрически эта вероятность равна площади заштрихованной криволинейной трапеции (рис).

3. При известной плотности распределения вероятностей функция распределения может быть найдена по формуле:

.

4. Условие нормировки: .

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение a, равна нулю: .

6. Для непрерывной случайной величины вероятности попадания в открытый, закрытый и полузакрытый числовые промежутки равны между собой:

.