Задача 3

В одинаковых условиях проведены испытания двух объектов. Получены равновероятностные данные об их производительности (табл.2). Сравнить результаты испытаний и дать заключение об их статистическом различии. [1, стр. 61-63].

Таблица 2

Номер варианта	Производительность, т/ч
	Номер опыта
	1	2	3	4	5	6
7	102 115	98 128	107 119	96 123	97 99	109 108

Решение

Найдем оценки математических ожиданий:

_

x₁ = (102+98+107+96+97+109)/6 = 101,5 т/ч;

_

x₂ = (115+128+119+123+99+108)/6 = 115,33 т/ч.

На первый взгляд кажется, что различие между выборками составляет 13,63 %. Проверим достоверность этого утверждения. Найдем оценки дисперсий выборок.

;

S₁² = 29,9 (т/ч)²;

S₂² = 110,67 (т/ч)².

Выполним проверку однородности результатов опытов. С этой целью при уровне значимости α = 0,05 находим доверительный интервал для x₁ и x₂. Для этого упорядочим результаты измерений и запишем их в возрастающем порядке:

Таблица 3

Номер варианта	Производительность, т/ч
	Номер опыта
	1	2	3	4	5	6
7	96 99	97 108	98 115	102 119	107 123	109 128

Выборочное среднее составит для первой и второй выборок соответственно:

_

x₁ = 101,5 т/ч;

_

x₂ = 115,33 т/ч.

А среднеквадратичное отклонение:

S₁ = 5,47 т/ч;

S₂ = 10,52 т/ч.

Для оценки принадлежности x₁ и x_n к данной совокупности вычисляем

_

U₁ = (x - x₁)/S_x ;

_

U_n = (x_n - x)/S_x ;

Исходя из таблицы 3.3 [1] h = 1,82. Для первой выборки U₁ = 1,01 < h и U₆ = -1,37 < h, для второй выборки U₁ = 1,55 < h и U₆ = -1,20 < h. Таким образом, результаты измерений не являются грубыми погрешностями.

Для соответствующего уровня значимости находим доверительный интервал с

_

x_min = x – h*S_x

_

x_max = x + h*S_x

Для первой выборки x_min1 = 101,5-1,82*5,47 = 91,54 т/ч;

x_max1 = 101,5+1,82*5,47 = 111,46 т/ч.

Для второй выборки x_min2 = 115,33-1,82*10,52 = 96,18 т/ч;

x_max2 = 115,33+1,82*10,52 = 134,48 т/ч.

Грубой погрешностью считается величина, которая выходит за пределы доверительного интервала или лежит на его границах, т.е. если выполняются условия:

x₁ ≤ x_min или x_n ≥ x_max.

Для первой выборки x₁ = 96 > x_min = 91,54, x₆ = 109 < x_max = 111,46, для второй выборки x₁ = 99 > x_min = 96,18, x₆ = 128 < x_max = 134,48, следовательно, результаты измерений не являются грубыми погрешностями.

Таким образом, каждая выборка состоит из однородных результатов.

Проверим однородность дисперсий. Определим расчетное значение критерия Фишера, который представляет собой отношение большей дисперсии к наименьшей:

F = S₂²/S₁² = 110,67/29,9 = 3,7.

Табличное значение F–критерия при уровне значимости α = 0,05 и f₁ = f₂ = 5 составляет 5,05 (таблица 3.4 [1]). Так как расчетное значение F–критерия меньше табличного (3,7 < 5,05), то дисперсии однородны. Поэтому вместо S₁² и S₂² необходимо пользоваться средневзвешенным значением:

S_св² = (S₁²*f₁ + S₂²*f₂)/( f₁ + f₂);

S_св² = (29,9*5 + 110,67*5)/(5 + 5) = 70,29 (т/ч)²;

Найдем доверительный интервал:

;

критерий = 2,23 при числе степеней свободы f = 6+6-2 = 10,

Z = ± 2,23*8,38*0,58 = ± 10,84 т/ч.

Так как этот интервал включает различие между оценками математических ожиданий

_ _

x₂ – x₁ = 115,33 – 101,5 = 13,83 т/ч,

то с вероятностью 0,95 выборки различны.