І. Фигураның ауданы осы фигураның бөліктерінің ауданының қосындысына тең

1-тапсырма. АВСD фигурасының ауданын табайық (1-сурет). Егер тор көздің өлшемі 1х1см болса.

АВСD фигурасын бөліктерге бөлейік (1 және 2).

Ауданды табудың қасиеттері бойынша:

S = S1 + S2 =

=

2

1

(2∙3):2 + 3∙2 =

= 3 + 6 = 9 см²

Жауабы: 9 см²

1-сурет

2-тапсырма. АВСD фигурасының ауданын табайық (2-сурет). Егер тор көздің өлшемі 1х1см болса.

АВСD фигурасын бөліктерге бөлейік (1,2,3,4).

А

1

уданды табудың қасиеттері бойынша:

2

3

S = S1 + S2 + S3 + S4 =

=

4

(1∙4):2 + (1∙3):2 + 1∙1 + (1∙2):2 =

= 2 + 1,5 + 1 + 1 = 5,5 см²

Жауабы: 5,5 см²

2-сурет

3 -тапсырма. АВСD фигурасының ауданын табайық (3-сурет). Егер тор көздің өлшемі 1х1см болса.

1

АВСD фигурасын бөліктерге бөлейік (1, 2 және 3).

А

2

уданды табудың қасиеттері бойынша:

S = S1 + S2 + S3 =

=

3

(1∙4):2 + (3∙3):2 + (1∙3):2 =

= 2 + 4,5 + 1,5 = 8 см²

Жауабы: 8 см²

3-сурет

Іі. Фигураның ауданы сырттай сызылған тіктөртбұрыштың бөліктерінің ауданына тең

4-тапсырма. АВСD фугирасының ауданын табайық (4-сурет). Егер тор көздің өлшемі 1х1см болса.

А ВСD фигурасына сырттай тіктөртбұрыш салайық.

Т

1

4

іктөрбұрыштың ауданынан (бұл жағдайда квадрат) бөліктерінің аудандарын азайтамыз (1, 2, 3 және 4):

S

2

3

= Sтб – S1 – S2 – S3 – S4 =

= 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 = 16 – 1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см²

4-сурет Жауабы: 10 см²

5-тапсырма. АВСD фигурасының ауданын табайық (5-сурет). Егер тор көздің өлшемі 1х1см болса.

А ВСD фигурасына сырттай тіктөртбұрыш салайық.

Т

1

2

3

іктөртбұрыштың ауданынан (бұл жағдайда квадрат) бөліктерінің аудандарын азайтамыз (1, 2 және 3):

S = Sтб – S1 – S2 – S3 =

= 4∙4 – (4∙4):2 – (2∙1):2 – (2∙1):2 = 16 – 8 – 1 – 1 =

= 6 см²

5-сурет Жауабы: 6 см²

6-тапсырма. АВСD фигурасының ауданын табайық. Егер тор көздің өлшемі 1х1см болса.

А

4

ВСD фигурасына сырттай тіктөртбұрыш салайық.

Т

1

іктөртбұрыштың ауданынан бөліктерінің аудандарын азайтамыз (1, 2, 3 және 4):

S = Sтб – S1 – S2 – S3 – S4 =

=

3

3∙6 – (4∙1):2 – (2∙2):2 – (4∙1):2 – (2∙2):2 =

=

2

18 – 2 – 2 – 2 – 2 = 10 см²

6-сурет Жауабы: 10 см²

Ііі. Пик теоремасы

Тор көзді қағазға көпбұрыштың төбелері болатындай етіп нүктелер салып, (7-сурет) сол фигураның ауданын табайық. [2] Көпбұрыштың ауданын табу үшін белгілі бір формулаға салу қажет. Яғни ең тиімді тәсілі, сол фигураның бойында және фигураның ішіндегі тор көздің қиылысу нүктелерін санап, формулаға қойсақ болады.

7 - сурет

АВСD – торкөз сызықтарымен сызылған, қиылыстарында және қабырғаларында төбесі бар тіктөртбұрыш (8-сурет). І арқылы тік төртбұрыштың ішінде жатқан қиылыстар санын, ал Б арқылы – оның бойындағы қиылыстар санын белгілейміз. Тор көзді оңға қарай жарты тор көзге және төменге қарай жарты тор көзге жылжытамыз. Сонда тік төртбұрыштың жерін қиылыстар арасында мынадай түрде «бөлуге» болады: І қиылыстарының әрқайсысы жылжытқан толық тор көзді, ал Б қиылыстарының әрқайсысы – 4 шектелген бұрыш емес қиылыстарды – жарты тор көзді, ал бұрыштық нүктелердің

8 - сурет әрқайсысы – тор көздің төрттен бір бөлігін «бақылайды». Сондықтан, тік төртбұрыштың ауданы S = І + + 4 · = І + – 1.

Осылай, торкөз сызықтарымен сызылған, қиылыстарында және қабырғаларында төбесі бар тік төртбұрыш үшін S = І + – 1 формуланы белгіледік. Бұл формула тек тік төртбұрыш үшін ғана емес, сондай-ақ тор көздің қиылыстарында төбелері бар көпбұрыштарға да дұрыс екен! Бұл Пик формуласы деген сөз. [4]

Ол құпиялы емес. Бұл туралы ақпарат интернетте бар. Бұл формула туралы әдетте үшбұрыштың ауданын табуға қолданылатында айтылады. Бұл формуланың авторы австриялық математик Георг Пик (1 қосымша). [8]

Пик формуласы жоғарыда қаралған барлық мысалдар үшін дұрыс екеніне көз жеткізуге болады.

Егер тік төртбұрышты тор көздің қиылыстарындағы төбелері бар үшбұрышқа бөлуге болса, онда ол үшін Пик формуласы дұрыс болады екен.

Пик формуласын мысалдарда қолдануды қарастырайық:

7-тапсырма. Үшбұрыштың ауданын табайық (9-сурет). Үшбұрыштың бойынан (тор көз сызықтарының қиылысуы) және үшбұрыштың ішінен нүктелер белгілейміз:

І = 34 (көк түспен), Б = 15 (сарғыш түспен).

9-сурет

S= 34 + 15:2 – 1 = 40,5 бірлік²

Жауабы: 40,5

Трапецияның, параллелограммның, үшбұрыштың аудандары белгілі бір формуламен оңай және жылдам табылады.Мына формула көпбұрыштарға (бұрыштарының саны бесеу немесе одан да көп) қолдануға болады. [9]

8-тапсырма. Бесбұрыштың ауданын табайық (10-сурет).

Б есбұрыштың (тор көз сызықтарының қиылысуы) бойынан және бесбұрыштың ішінен нүктелер белгілейміз:

І = 43 (көк түспен),

Б = 14 (сарғыш түспен).

S= 43 + 14:2 – 1 = 49 бірлік²

Жауабы: 49

10-сурет

Әрине, тор көзді қағазға сызылған фигуралардың ауданын табу тәсілдері көп. Мысалы, фигураның ішіндегі бүтін тор көздерді санап, ал қалған бөліктерін «бүктеп» бүтін тор көз қылып қосуға болады, ол әрине ұзақ уақытты алады және қиындау болады.

Тор көзді қағазға сызылған кейбір фигураларға бұл формуланы пайдалануға болады, бірақ уақыт жағынан ұтымсыз болады. Емтихан кезінде 9-сынып және 11-сынып оқушылары үшін әр минут қымбат!

ІV. Практикалық мазмұнымен берілген тапсырмалар

Егер тор көзді қағазға масштабпен сызылған нысан берілсе, онда нысанның ауданын Пик теоремасын пайдаланып, шығара аламыз. [4]

9-тапсырма. Суретте көрсетілген орманның ауданын тап (м² есебімен), егер тор көздің өлшемі 1 × 1см, масштабы 1 см = 200 м болса (11-сурет).

Т ор көзді қағазға сызылған төртбұрыштың ауданын табу үшін Пик теоремасын пайдаланайық: S = І + – 1

І = 8, Б = 7.

S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 см²

Егер 1 см² = 200² м² болса, онда

Sорман = 40000 · 10,5 = 420 000 м² болады.

11-сурет Жауабы: 420 000 м²

10-тапсырма. Суретте көрсетілген өрістің ауданын тап (м² есебімен), егер тор көздің өлшемі 1 × 1см, масштабы 1 см = 100 м болса. (12-сурет).

Тор көзді қағазға сызылған төртбұрыштың ауданын табу үшін Пик теоремасын пайдаланайық: S = І + – 1. І = 7, Б = 4.

S = 7 + 4/2 – 1 = 8 см², егер 1 см² = 100² м² болса, онда S_өріс = 10000 · 8 = 80 000 м² болады.

12-сурет Жауабы: 80 000 м²