Иногда относительная погрешность выражается в процентах:

II. Погрешность при косвенных измерениях.

В большинстве случаев в лабораторном практикуме нельзя определить искомую физическую величину непосредственно по приборам. В этом случае прибегают к косвенным измерениям. Косвенными измерениями являются измерения, полученные на основе прямых измерений и подсчитанные по математическим формулам.

Например, объем цилиндра определяется по формуле , где с по­мощью прямых измерений определяется диаметр цилиндра D и его высота h, объем же получается в результате косвенных измерений.

В таких случаях погрешность косвенного измерения зависит не только от погрешностей прямых измерений, но и от вида той математической формулы, по которой находится физическая величина.

Для нахождения погрешностей косвенных измерений удобно воспользо­ваться правилами дифференциального исчисления, считая искомую величину функцией, а величины, непосредственно измеряемые приборами, ее аргу­ментами. Пусть вид функциональной зависимости определяется формулой , где А  результат косвенного измерения,  ре­зультаты прямых измерений. По определению относительная погрешность равна

(5)

С другой стороны . Так как погрешность всегда много меньше измеряемой величины А, ошибки можно считать малыми величинами. Это дает возможность замены знака дифференциала d на знак абсолютной ошибки . То есть, можно записать: .

Из сопоставления приведенных формул следует, что относительную погреш­ность косвенного измерения можно найти путем:

1. логарифмирования исходного выражения ;

2. последующего дифференцирования ;

3. заменой знака дифференциала d на знак абсолютной погрешности ;

4. заменой всех знаков минус на знаки плюс перед знаками абсолютных погрешностей .

Пример.

Для определения плотности цилиндрического тела применяется формула:

,

где m  масса тела, D  диаметр, h  высота. Величины m, D, h определяются в результате прямых измерений. Плотность определяется из косвенных изме­рений. Для нахождения относительной погрешности, выполняем следующие действия:

1. находим натуральный логарифм исходного выражения

,

2. выполняем дифференцирование : ,

3. заменяем знак d на знак : ,

4. перед всеми знаками ставим знаки плюс .

Далее можно найти абсолютную погрешность: ,

где  абсолютная погрешность косвенного измерения,  среднее значение искомой величины, ε – относительная погрешность.

Примечание.

Иногда в зависимости от расчетной формулы удобнее вначале найти абсолют­ную погрешность непосредственно, не связывая ее с относительной погреш­ностью. Для этого используют следующее правило для нахождения абсолютной ошибки при косвенном измерении:

1) дифференцируют исходное выражение;

2) заменяют знак дифференциала d на знак погрешности ;

3) перед всеми знаками ставят знаки плюс.

Пример.

1)

2) ,

3) .