Действия над событиями

Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.

Суммой событий А и В называется событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).

Произведением событий А и В называется событие , состоящее в совместном наступлении этих событий (т.е. и А и В одновременно).

Разностью событий А и В называется событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.  

Противоположным событию А называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т.е. означает, что событие А не наступило).

Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В: записывают .

Если и , то события А и В называются равными: записывают .

Так, в примере 1.1  , , , . Тогда: , , , , , .

События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна: достоверное событие Ω изображается прямоугольником; элементарные случайные события - точками прямоугольника; случайное событие - областью внутри него.

Действия над событиями можно изобразить так, как показано на рис. 1-5.

Рис 1. Рис 2. Рис 3.

Рис. 4 Рис. 5

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

1. (переместительное).

2. (распределительное).

3. (сочетательное).

4. 

5. 

6. 

7. 

8. .

9. (законы де Моргана)

В их справедливости можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Случайные события. Алгебра событий. (Теоретико-множественная трактовка)

Определим теперь основные понятия теории вероятностей, следуя теоретико-множественному подходу, разработанному А.Н. Колмогоровым А. Н. в 1933 году.

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Множество всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта называется пространством элементарных событий (коротко ПЭС), а сами исходы - элементарными событиями (или элементами, точками).

Случайным событием А (или просто событием А) называется любое подмножество множества Ω, если Ω конечно или счетно (т.е. элементы этого множества можно пронумеровать с помощью множества натуральных чисел): .

Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Ω, называются благоприятствующими событию А.

Множество Ω, называется достоверным событием. Ему благоприятствует любое элементарное событие; в результате опыта оно обязательно произойдет.

Пустое множество называется невозможным событием, т.е. в результате опыта оно произойти не может.

Пример 1.2. Опыт:  Один раз бросают игральную кость. В этом случае ПЭС таково: или , где - элементарное событие, состоящее в выпадении грани с  i точками . В данном случае Ω, конечно. Примером события А является, например, выпадение нечетного числа очков; очевидно, что ; событию А благоприятствуют элементарные события . Однако если нас интересует только факт выпадения четного числа очков, то ПЭС можно построить иначе , где - выпадение четного числа очков, - нечетного.

Над событиями можно проводить все операции, выполнимые для множеств.

Сумма (или объединение) двух событий АΩ и ВΩ (обозначается А+В или AВ) - это множество, которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из событий А и В.

Произведение двух событий АΩ и ВΩ (обозначается АВ или АВ) - это множество, которое содержит элементы, общие для событий А и В.

Разность событий АΩ и ВΩ (обозначается А  В или А\В ) - это множество, которое содержит элементы события А, не принадлежащие событию В.

Противоположное событию АΩ событие . ( называют также дополнением множества А).

Событие А влечет событие В (обозначается ), если каждый элемент события А содержится в В.

По определению: для любого А.

События А и В называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие, т.е. .

Несколько событий образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события несовместны, т.е. и . Полную группу образуют, например, события А и ( , ).

В случае несчетного пространства Ω в качестве событий рассматриваются не все подмножества Ω, а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и σ-алгебрами множеств. 

Класс S подмножеств пространства Ω называется алгеброй множеств (событий), если:

1.   , ;

2.   из вытекает,  что ;

3.   из , вытекает, что , .

Заметим, что в условии 3 достаточно требовать либо , либо , так как , .

Алгебру событий образует, например, система подмножеств . Действительно, в результате применения любой из вышеприведенных операций к любым двум элементам класса S снова получается элемент данного класса: , , , .

При расширении операций сложения и умножения на случай счетного множества алгебра множеств S называется σ-алгеброй, если из , следует , (достаточно требовать либо , либо ).

Множество всех подмножеств множества Ω, если оно конечно или счетно, образует алгебру.

1.2. Определение вероятности