Приложения формул Тейлора и Маклорена.

Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как , , и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.

В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

Поскольку , то в остаточном члене величина удовлетворяет неравенству: . Следовательно,

.

Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем . Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что , поскольку ( ).

Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.

Признаки монотонности функции.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x₁<x₂, принадлежащих (a;b), выполняется ( ).

Определение: Функция называется возрастающей (убывающей) на (a;b), если для любых x₁<x₂, принадлежащих (a;b), выполняется ( ).

Теорема 1.

Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была возрастающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке была неотрицательна, т.е. , и достаточно, чтобы .

Доказательство:

Необходимость.

Пусть f(x) возрастает на (a;b). Тогда для любых выполняется .

Þ Þ .

По определению производной: .

Достаточность.

Пусть на (a;b). f(x) дифференцируема на (a;b). Выберем на этом промежутке 2 точки х₁; х₂.

Тогда на (х₁; х₂) выполняется условие теоремы Лагранжа:

существует точка с (х₁; х₂) такая, что .

Þ (т.к. ).

 . Þ возрастает на (a;b).

Ч.т.д.

Теорема 2.

Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была убывающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке и достаточно, чтобы .

Доказательство проводится аналогично.

Пример: Найти интервалы возрастания и убывания функции .

.

.

 .

Э кстремум функции.

Пусть функция определена в окрестности точки x₀.

Определение: Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство .

x₀ — max.

Определение: Точка x₀ называется точкой строгого локального минимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство .

x₀ — min.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Если функция , дифференцируемая в точке x₀, имеет в этой точке экстремум, то производная .

Доказательство:

Пусть для определенности точка x₀ — max.

Тогда по определению существует такая ее окрестность , в которой выполняется неравенство < .

Т.о. на интервале в точке x₀ функция принимает наибольшее значение .

Тогда по теореме Ферма: .

Аналогично доказывается для минимума функции.

Ч.т.д.

Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x₀ в том случае, когда производная не существует.

Точки, в которых производная либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной.

Замечание 1: Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум.