Множества мощности континуума.

Определение 8.

Множество А, эквивалентное , называется множеством континуума,

Лемма.

при

Установим биекцию



Лемма.



Лемма.

R.

Существует биекция .

.

Следствия.

====

Теорема 3.

Если , то .



1.

А

В

.

2.

АВ

Рассмотрим пару и поставим ей в соответствие (т. е. установим биекцию)

.

Следствие.

как декартово произведение множеств мощности .

Утверждение.

.

.

Утверждение.

Любая область в пространстве, содержащая дугу непрерывной кривой, имеет мощность .



Пусть L – дуга непрерывной кривой, .L может быть задана параметрическими уравнениями.

Таким образом L.



Теорема 4.

Множество всех подмножеств множестваN имеет мощность .

Установим биекцию.

Пусть . Поставим множеству В в соответствие двоичную последовательность

Этой последовательности можно поставить в соответствие

Т. о. P(N) .

Замечание.

Арифметика кардинальных чисел:

1. < <

2. + n = (объединение счётного и конечного множеств)

3. + = (объединение двух счётных множеств счётно)

4. =

5. n + =

6. + =

7. + =

8. =

9. 

10. 2 =

Лекция № 8. Решетки.

Определение 1.

Решетка – частично упорядоченное множество , в котороми.

Обозначение.

Пример.

– цепь, решетка

Рассмотрим

Данное частично упорядоченное множество не является решеткой.

Следствие.

Если – решетка, то.

Следствие.

Если L – решетка, то выполняются:

1. (идемпотентность)

2. (коммутативность)

3. (ассоциативность)

4. (поглощение)



1. 2. 3. Очевидны из определений .

4.



Определение 2.

Решетка – алгебра типаопераций, которая удовлетворяет условиям 1 – 4.

Теорема 1.

Определения 1 и 2 эквивалентны.



В силу следствий (условия 1 – 4).

Пусть – решетка по определению 2. Введём отношение.

1. Покажем, что является отношением частичного порядка.

Рефлексивность:

Антисимметричность:

Транзитивность:

2. Покажем, что

   1. Покажем, что

2. Покажем, что

3. доказывается аналогично.

Теорема 2.

В любой решетке выполняются неравенства дистрибутивности:





Специальные виды решеток.

Определение 3.

Решетка L называется модульной, если выполняются:

5.

Пример.

не выполнено свойство 5

Решетка не модулярная.

Теорема 3.

Решетка модулярная она не содержит подрешетки в виде .

Дистрибутивные решетки.

Определение 4.

Решетка называется дистрибутивной, если выполняется свойство дистрибутивности:

6.

Утверждение.

Дистрибутивная решетка модулярная, т. е. из свойства 6 свойство 5.



2ое условие доказывается аналогично.

Следствие.

Если решетка не модулярная, то она и не дистрибутивная.

Пример.

Решетка не дистрибутивная, но модулярная.

Теорема 4.

Решетка дистрибутивная она не содержит решеток вида

Теорема 5.

В дистрибутивной решетке