2.Гомоскедастичность дисперсии остатков

Свойство проверяются путем анализа графиков дисперсии остатков вдоль оси аргументов (или по оси времени, если это процесс)

Гетероскедастичность – непостоянство дисперсии можно демонстрировать как в координатах (у-х) так и в координатах ( - )

Типичные варианты гетероскедастичности

-

Возрастание по параметру х

А) в координатах (у-х)

Отклонения от модели растут по мере увеличения x.

Б ) В координатах ( - )

получаем вид

- имеем большую дисперсию ост.

для больших значений  

- Дисперсия остатков по переменной х достигает максимальной величины при средних значениях,

А) в координатах (у-х)

Б) В координатах ( - )

- Максимальная дисперсия остатков при малых значениях x

и далее однородна по мере увеличения x.

А) в координатах (у-х)

Б) В координатах ( - )

Л

3.Проверка нормальности частотного распределения остатков

Чаще всего проверка нормальности распределения производится с применением критерия согласия Пирсона хи-квадрат

ИТАК

Имеем выборку из данных объёма n , полученных в результате фиксации наших остатков после моделировании по МНК.

Как вы помните критерием согласия называют критерий по которому проверяют соответствие (согласие) тестируемого распределения (нашей выборки остатков) гипотезе. В нашем случае гипотеза – нормальное распределение.

Функция распределения

Для того что-бы определить какому именно Нормальному Распределению необходимо проверить соответствие, ----- то в предположении, что наше распределение нормально – вычисляют выборочные его параметры

–оценку МО – среднее и оценку дисперсии :

Имеется несколько критериев согласия. Наиболее часто используют критерий согласия К.Пирсона («хи-квадрат»).

Как это делаем

_По выборке остатков

рассчитывают эмпирическое

распределение: это эмпирические

частоты. в интервалах

_{с серединами в точках}

Рассчитывают выборочные и :

В предположении нормального

распределения генеральной совокупности

определяют теоретические частоты

и т.о. имеется теор распр-е

Н еобходимо при уровне значимости

проверить нулевую гипотезу:

генеральная совокупность из которой

взята выборка распределена нормально.

То есть отличия этих двух кривых

несущественны на уровне значимости

Для критерия Пирсона формируют

с татистику (А)

для которой доказано что

она распределена по закону СВ _.

Естественно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (А) , и, следовательно, он характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.

Важно!

Заметим, что до сих пор нигде ( в формуле) не фигурировал размер выборки n. Это значит что по умолчанию для корректности выводов о проверяемой гимотезе n должно быть соизмеримо с генеральной совокупностью (помним это, когда проверяем какие-то гипотезы на 20-ти или 30-ти пациентах – выводы, как правило, некорректны !!!!).

Действительно, доказано, что при n→∞ закон распределения случайной величины (А) стремится к закону распределения с k степенями свободы независимо от того, какому закону распределения подчинена сама генеральная совокупность х. Поэтому сам критерий называют критерием согласия . А n для корректности надо →∞

Число степеней свободы определяется из равенства v=k-1-m

, где k – число групп (частичных интервалов) выборки, m – число параметров предполагаемого распределения.

В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (матожидание и среднее квадратическое отклонение ), поэтому число степеней свободы. v=k-3

Мы помним, что чем меньше расчетная величина критерия (А) , тем ближе эмпирическое и теоретические распределения.

Зададимся некоторой доверительной вероятностью p=1-α (вероятностью отличия - допустим 0.95) с которой мы будем оценивать нулевую гипотезу Н0: «отличия эмпирического и теоретического распределений являются случайными».

Тогда =0.05 , напомним, называем уровнем значимости такого отличия. Понятно что если мы как-то определили некоторое критическое значение _{которое соответствует принятому уровню. значимости и} количеству степ свободы _{то все расчетные будут подтверждать нашу гипотезу} Н0, то есть критическая область не принятия Н0 остается справа _.

_{Ну а для определения критических значений разработаны специальные таблицы}

• Т.о. сформулируем правило проверки нулевой гипотезы:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H0: «генеральная совокупность распределена нормально», необходимо расчитать наблюдаемые (эмпирические) частоты , определить теоретические частоты , затем рассчитать значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы v=k-1-m найти критическую точку .

Если – то нулевую гипотезу принимаем. В противном случае нулевую гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

Пример

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:

Эмпирические частоты: 6 13 38 74 106 85 30 14

Теоретические частоты: 3 14 42 82 99 76 37 13

Рассчитаем =7,19, число степеней свободы определим по соотношению k= 8–3=5 (в нашем случае s=8). Используя рассчитанные значения и k, по таблице критических точек распределения хи-квадрат при уровне значимости находим .

Таблица критических точек распределения Пирсона.

Так как , нулевая гипотез применяется. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Напомним еще раз упоминавшуюся выше проблему;

Так как в механизме оценки степени отличия распределений по _{не участвует в явном виде объем выборки n то} формально объём выборки должен быть достаточно велик (то-бы распред А) приближалось к _{) Кроме того} каждая группа должна содержать не менее 5–8 точек, малочисленные группы объединяют в одну, суммируя частоты и тд

В инете вы найдете море критического материала по поводу применения теории стат гипотез «неграмотными» специалистами на объемах выборки 40,50,70 и даже более пациентов.

Однако к счастью для этих исследователей (просто часто они не в курсе) существует результат, позволяющий резко ограничить объем необходимой выборки для получения достоверного ответа о нормальности проверяемого распределения

Рассмотрим на практике основной подход к определению нормальности распределения: правило 3 сигма.

Если внешне ваше распределение не сильно отличается от нормального то утвердится в этом дает возможность правило 3 сигма.

Е сли просчитать для нормального

Закона

вероятность попадання СВ за

пределы отклонения от МО на 3σ,

то окажется что оно практически =0, точнее при нормальном распределении вероятность попадания очередного фактического значения в доверительный интервал 3σ составят 99,7%.

Поэтому, если оцениваемое распределение «на глаз не сильно отличается от нормального» то на практике вместо применения теории Стат проверки гипотез применяют правило 3σ в обратную сторону

Если в интервал 3σ попадает не менее 99,7% реализаций то рассматриваемое распределение нормально.

Правило «двух сигм».

С вероятностью близкой к единице (0,9544) можно утверждать, что значения нормально распределенной СВ лежат в интервале

то есть, если проведено 10 000 испытаний, то результаты 9544 испытаний должны принадлежат указанному промежутку .

Вот теперь поставим вопрос - а какое минимальное количество испытаний достаточно провести для того чтобы убедится в нормальности распределения исходя из правила «двух сигм» (альфа = 0.95 )