4. Разработка экспертных систем на основе правила байеса

Чаще всего ЭС применяются при решении задач диагностики. В задачах такого типа входными данными являются известные следствия, и требуется определить причины, вызвавшие их, например медицинская диагностика, диагностика неисправностей технических систем, датирование археологических ископаемых и т.п. Специфика подобных областей такова, что знания из них нельзя представить в строгой детерминированной форме, например логики первого порядка. Причина этому ‑ необходимость привлечения интуиции эксперта, а также учет множества неоднозначных факторов в виде отсутствия точной связи между причиной и следствием.

Одним из подходов к управлению неопределенностью в знаниях является учет степени уверенности эксперта. Для этого применяется математический аппарат теории вероятности.

4.1. Правило Байеса и его назначение

Рассмотрим основные понятия и аксиомы теории вероятности, необходимые для создания экспертной системы.

Пусть A, B, C – три события, которые могут произойти как отдельно друг от друга (независимые события), так и в разных сочетаниях совместно друг с другом (зависимые события). Для двух событий A, B запись A B означает их сложение, а AB – произведение.

Вероятность P(A) называется безусловной, P(A|B) – условной вероятностью наступления события A при условии наступления события B. Например, P(Кариес) = 0,3, P(Кариес|Зубная боль) = 0,8.

Условная вероятность может быть выражена в терминах безусловных вероятностей .

Учитывая правило произведения вероятностей, для зависимых событий может быть получено следующее правило: . Данная зависимость называется правилом Байеса (в честь её автора Реверенда Томаса Байеса) и является основой ЭС с вероятностным выводом. Это правило позволяет решать задачу определения вероятности наступления причины при известной вероятности следствия.

Пусть есть событие B, которое может проявляться по-разному с различной вероятностью. Тогда событие B можно рассматривать как вероятностную или случайную переменную со значениями B1, B2,…,Bn. Если вероятности Bi независимы друг от друга и событие B происходит совместно с событием A, то P(AB) = P(AB1)  P(AB2) … P(ABn). Из этого выражения может быть получена формула полной вероятности для группы независимых событий Bi: .

В этом случае формула Байеса также изменяется и приводится к виду (полное правило Байеса):

(1)

В экспертных системах вероятности разделяются на две группы: свидетельства (E, Evidence) и гипотезы (H, Hypothesis). Свидетельства представляют собой подтверждения некоторых событий или признаков, которые влияют на вероятность определенных гипотез. Свидетельства поступают в ЭС от пользователя и присваиваются в качестве значений вероятностным переменным, после чего значения других вероятностных переменных пересчитываются. Вероятностные переменные, получившие значения, называются конкретизированными.

4.2. Пример разработки экспертной системы

В качестве примера рассмотрим процедуру создания ЭС в области медицинской диагностики. Цель экспертной системы заключается в определении болезни в зависимости от имеющихся у пациента симптомов. Здесь также возникает проблема неопределенных знаний, так как отсутствует точная причинно-следственная связь между симптомами и заболеванием. Так, в отличие от медицинской энциклопедии, где по каждому заболеванию можно найти абсолютно полный набор точных симптомов, отдельные симптомы лишь в очень редких случаях однозначно характеризуют болезнь (например, высокая температура не всегда связана с таким заболеванием, как грипп). Таким образом, разрабатываемая ЭС будет определять вероятность наличия у больного заболевания при подтверждении или опровержении им некоторой группы симптомов.

Для заполнения базы знаний в медицинской ЭС должны быть заданы следующие вероятности: P(H), P(E|H), P(E| ). Здесь H – некоторое заболевание; E – подтверждение или опровержение пациентом определенного симптома; P(H) ‑ безусловная вероятность (при отсутствии дополнительной информации о пациенте) наличия у пациента заболевания H; P(E|H) – условная вероятность возникновения симптома E при наличии заболевания H; P(E| ) ‑ условная вероятность возникновения симптома E при отсутствии заболевания H.

Для простоты будем предполагать, что ЭС должна определять только такие болезни, как грипп и отравление. Создание ЭС начинается с определения экспертом основных симптомов заболеваний, например это могут быть следующие симптомы (табл. 1).

Таблица 1

Основные симптомы

№	Симптом, E
1	Высокая температура
2	Боль в животе
3	Кашель
4	Тошнота
5	Головная боль
…	…

Далее эксперт должен связать болезни и их симптомы с учетом неопределенности знаний, сформировав тем самым базу знаний. В табл. 2 приведен фрагмент базы знаний для создаваемой ЭС.

Таблица 2

База знаний примера

Заболевание, Н	P(H)	Симптом, E	P(E|H)	P(E| )
Грипп	0,01	1	0,9	0,05
		2	0,01	0,8
		3	0,9	0,1
		4	0,05	0,8
		5	0,8	0,1
Окончание табл. 2
Заболевание, Н	P(H)	Симптом, E	P(E|H)	P(E| )
Отравление	0,01	1	0,05	0,9
		2	0,8	0,01
		3	0,1	0,9
		4	0,8	0,05
		5	0,1	0,8

В таблице столбец H означает название возможного заболевания, P(H) – безусловная вероятность наличия заболевания H у случайного человека, например, значение 0,01 означает, что 1% или один из 100 человек имеет это заболевание. Третий столбец содержит номера ранее выбранных симптомов, для каждого из которых в двух последних столбцах записываются условные вероятности. При этом важно помнить, что по условию примера ЭС должна определять (различать) только два указанных ранее заболевания. Например, ЕСЛИ Высокая температура = «да», ТО P(Грипп = «да») = 0,9; ЕСЛИ Высокая температура = «да», ТО P(Грипп = «нет») = 0,05. Другими словами, наличие у пациента высокой температуры свидетельствует о заболевании гриппом со степенью уверенности 0,9 и соответственно об отсутствии этого заболевания со значением 0,05. Для нашего случая последнее означает, что у 5% пациентов, имеющих заболевание «Отравление», может быть этот симптом «Высокая температура».

Точность заложенных в базу знаний значений вероятностей является главным критерием качества работы ЭС и как следствие определяет доверие пользователя к полученному результату. Поэтому перед началом формирования базы знаний рекомендуется провести соответствующие исследования в прикладной области ЭС с привлечением не одного, а нескольких экспертов в этой области. Для повышения качества экспертных оценок могут быть использованы специальные методы определения коэффициентов уверенности и доверия. Так, для рассматриваемого примера «сезонных» корректировок требуют значения безусловных вероятностей обоих заболеваний.

После заполнения базы знаний следует вычислить для каждого симптома коэффициент его влияния на подтверждение одного из заболеваний H. Для этого используется формула

, j = 1…m,

где n – число гипотез, m – число свидетельств.

Используя данную формулу, вычислим значения Rj для каждого симптома. R1 = |0,9 – 0,05|+|0,05 ‑ 0,9| = 1,7; R2 = |0,01 – 0,8|+|0,8 ‑ 0,01| = = 1,58; R3 = |0,9 – 0,1|+|0,1 ‑ 0,9| = 1,6; R4 = |0,8 – 0,05|+|0,05 ‑ 0,8| = 1,5; R5 = |0,8 – 0,1|+|0,1 ‑ 0,8| = 1,4.

Далее начинается непосредственная работа с ЭС в режиме консультаций. Пациенту предлагать отвечать на вопросы «Да» или «Нет» (значение 1 или 0 соответственно), подтверждая или опровергая наличие симптома. При этом опрос выполняется по предварительно упорядоченным симптомам, начиная с наиболее определяющего симптома (Rj = max) и заканчивая наименее определяющим (Rj=min).

Каждый раз после поступления новых свидетельств от пользователя безусловные вероятности гипотез заменяются новыми значениями, отражающими влияния на них полученных свидетельств. Для этого используется полное правило Байеса (1):

(2)

Согласно этой формуле, вероятность подтверждения некоторого заболевания H при наличии подтверждающего свидетельства E вычисляется на основе безусловных вероятностей наличия и отсутствия заболевания H и условных вероятностей свидетельств при наличии и отсутствии этого заболевания.

Выражение (2) используется для корректировки вероятности заключения при положительном ответе пользователя на вопрос. В случае отрицательно ответа данная зависимость принимает вид

(3)

При последующих вычислениях формул (2, 3) каждое новое полученное значение P(H|E) используется вместо безусловных вероятностей P(H), P( ).

После завершения консультаций с ЭС имеющиеся гипотезы упорядочиваются по убыванию значений P(H). Гипотеза с максимальной степенью уверенности принимается в качестве результата работы экспертной системы.

Продолжая пример, предположим, что ЭС нужно выполнить диагностику заболевания гриппом. При этом получен набор свидетельств относительно соответствующих симптомов.

Используя выражения (2, 3), определим изменения значений вероятностей обеих болезней в процессе консультации с ЭС.

P(Грипп|Высокая температура = да) = = 0,153;

P(Отравление|Высокая температура = да) = = 0,00056;

P(Грипп|Кашель = да) = = 0,619;

P(Отравление|Кашель = да) = = 0,0;

P(Грипп|Боль в животе = нет) = = 0,889;

P(Отравление|Боль в животе = нет) = = 0,0;

P(Грипп|Тошнота = нет) = = 0,974;

P(Отравление|Тошнота = нет) = = 0,0;

P(Грипп|Головная боль = да) = = 0,996;

P(Отравление|Головная боль = да) = = 0,0;

Результаты вычислений сведены в табл. 3, содержащую упорядоченные по значениям Rj симптомы, свидетельства пациента относительно них, а также изменение значений вероятностей каждого из заболеваний при подтверждении или опровержении соответствующего симптома.

Таблица 3

Результаты работы ЭС

Симптом	Ответ	P(Грипп)	P(Отравление)
Высокая температура	да	0,153	0,00056
Кашель	да	0,619	0,0
Боль в животе	нет	0,889	0,0
Окончание табл. 3
Симптом	Ответ	P(Грипп)	P(Отравление)
Тошнота	нет	0,974	0,0
Головная боль	да	0,996	0,0

Таким образом, полученные от пациента ответы позволили ЭС с высокой степенью уверенности подтвердить изначально предполагаемый диагноз гриппа.