9. Системы диф.Ур. И числен. Методы их решения.

Пусть два согласов-х. проц-са описыв-ся ф-ями y₁(x), y₂(x). Система имеет вид . Нач. услов: y₁(x₀)=y₁⁽⁰⁾, y₂(x₀)=y₂⁽⁰⁾.(нижний индекс -№ ф-ции, верх-№ шага).

Метод Эйлера: y₁⁽ⁿ⁺¹⁾=y₁⁽ⁿ⁾+h*f₁(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾), y₂⁽ⁿ⁺¹⁾=y₂⁽ⁿ⁾+h*f₂(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾).

Эйлера-Коши: y₁⁽ⁿ⁺¹⁾=y₁⁽ⁿ⁾+h/2*(f₁(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾)+f₁(x_n,y₁⁽ⁿ⁾+h*f₁(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾),y₂⁽ⁿ⁾+h*f₂(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾))), y₂⁽ⁿ⁺¹⁾=y₂⁽ⁿ⁾+h/2*(f₂(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾)+f₂(x_n,y₁⁽ⁿ⁾+h*f₁(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾),y₂⁽ⁿ⁾+h*f₂(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾))).

Рунге-Кутта (3-его пор): y₁⁽ⁿ⁺¹⁾=y₁⁽ⁿ⁾+0.25*(k₁₁+2*k₁₂+k₁₃), y₂⁽ⁿ⁺¹⁾=y₂⁽ⁿ⁾+ 0.25*(k₂₁+2*k₂₂+k₂₃), k₁₁=h*f₁(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾), k₂₁=h*f₂(x_n,y₁⁽ⁿ⁾,y₂⁽ⁿ⁾), k₁₂=h*f₁(x_n+h/2,y₁⁽ⁿ⁾+h/2*k₁₁,y₂⁽ⁿ⁾+h/2*k₂₁), k₂₂=h*f₂(x_n+h/2,y₁⁽ⁿ⁾+h/2*k₁₁,y₂⁽ⁿ⁾+h/2*k₂₁), k₁₃=h*f₁(x_n+h,y₁⁽ⁿ⁾+h*k₁₂,y₂⁽ⁿ⁾+h*k₂₂), k₂₃=h*f₂(x_n+h,y₁⁽ⁿ⁾+h*k₁₂,y₂⁽ⁿ⁾⁺h*k₂₂).

При использовании числ. методов интегриров-я диф. ур. могут возникнуть 2 неприятности: неустойч-ть и некорректность(неустойч-ть по отношению к нач. услов.). С повышением порядка метода повыш-ся устойч-ть метода в связи с тем, что в разложении формулы больше членов.

Проблема устойч-сти числ. методов порождает разл. подходы. Наиб. устойч-ю облад-т неявные (простейш-неявн. исправл. метод Э): если бы при получении формулы y_n+1=y₀+h/2*(f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+h*f(x_n,y_n))) в процессе “исправления” заранее знали y_n+1 в след. точке, то исправление было бы таким: y_n+1=y_n+h/2*(f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+1)). Для непосредств. вычис-ния эта формула непригодна, т.к. y_n+1 есть и в прав. части, но можно рассматр. как уравнение. Такого рода метод, в котором для значения решения в след.узле имеется не прямая, а уравнение, назыв. неявным. Это уравн. решают итерац. методами-простой итерацией: y_n+1^(k+1)=y_n+h/2*(f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+1^(k))),k=0,1..., Ньютона и др. При этом возникает проблема нач.прибл-я y_n+1⁽⁰⁾. В качестве его берут либо y_n, либо находят с помощью какого-то явного метода.

10.Свободное падение с учетом сопротивления среды.

Мат модель движе­ния – Ур-ие 2-го закона Ньютона с учетом двух сил: тяжести и сопротивления среды: Где и . Проецируя векторное уравнение на вертик-ную ось, получаем . Вопрос на первом этапе: каков хар-р изменения скорости со временем, если все параметры, входящие в уравнение, заданы? Ясно, что при наличии сопротивления, растущего со скоростью, в какой-то момент сила сопр-ия сравняется с силой тяжести, после чего скорость больше возрастать не будет. Начиная с этого момента, и соответствующую скорость можно найти из , решая квадратное уравнение. Имеем , (отриц-ый отбрасываем). Итак, характер движения качественно таков: скорость при падении возрастает от до ; как и по какому закону - это можно узнать, лишь решив дифференциальное уравнение. Математическая модель выражается системой дифференциальных уравнений:

решается методам Эйлера:

Когда сравняются линейная и квадратичная оставляющие силы сопротивления: , чтоб, узнать, надо ли принимать во внимание линейную составляющую силы сопротивления.

11. Движение тела брошенного под углом к горизонту. Будучи бро­шенным под углом к горизонту с начальной скоростью , тело летит, если не учитывать сопротивления воздуха, по параболе, и через некоторое время падает на землю. Проецируя уравнение на оси х и у, получаем . Поскольку в каждой точке траектории сила сопротивления направлена по каса­тельной к траектории в сторону, противоположную движению, то , , где - угол между текущим направлением скорости и осью х. Подставляя это в уравнение и учитывая, что получаем уравнения движения в переменных : Поскольку траектория движения представляет несомненный интерес, допол­ним систему (7.12) еще двумя уравнениями и, решая их совместно будем получать разом четыре функции: .