Рациональные дроби. Случай 2. Если есть кратные корни.
Задача 5. Вычислить интеграл
.
Решение. Как видим, здесь корень 1
имеет кратность 2. Разложение на простейшие
дроби нельзя проводить так, как будто
бы здесь три независимых множителя
,
,
,
т.е.
,
иначе получится противоречие, ведь
общий знаменатель будет содержать всего
лишь 1-ю степень
но никак не вторую. Надо степени
знаменателя учитывать по возрастающей,
до кратности корня, а именно, так:
.
Приведём к общему знаменателю:
.
Числитель этой дроби равен числителю исходной, той, которая была в интеграле:
.
,
система:
.
Построим расширенную матрицу и решим
систему уравнений:
.
Система приведена к виду:
Тогда
,
,
.
И теперь интеграл распадается на сумму
трёх интегралов:
.
В 1 и 3 слагаемых - как раньше, а вот во 2-м логарифм в ответе не получится, ведь тут уже 2-я а не 1-я степень в знаменателе.
Полезно вспомнить, что
.
То есть, интеграл от -2 степени будет содержать -1 степень, и меняется знак.
Ответ.
.
Задача 6. Вычислить интеграл
.
Решение.
=
=
.
Здесь корень 0 имеет кратность 2, остальные корни простые.
=
.
После приведения к общему знаменателю, числитель будет такой:
.
После приведения подобных:
,
это надо приравнять к
.
Получится систему с 4 неизвестными:
Поскольку A,B
определяются сразу же,
,
,
то матрицу 4 порядка для метода Гаусса строить не надо, а останется только маленькая система на C,D.
тогда
,
.
,
то есть, как видим, некоторые слагаемые
в некоторых примерах могут и пропадать,
однако те, где степень самая высокая,
равная кратности - не могут, так, здесь
не могло бы быть
,
иначе возникло бы противоречие при
приведении к общему знаменателю.
=
.
Ответ.
Задача 7. Вычислить интеграл
.
Решение. Сначала запишем знаменатель
подробнее, с учётом корней:
=
.
Это тот случай, когда оба корня кратные, кратности 2.
Разложение на простейшие дроби будет иметь такой вид:
.
После приведения к общему знаменателю, в числителе будет такое выражение:
=
здесь при А и С можно один множитель
отделить от 2-й степени, с тем чтобы
образовать выражение типа
тогда привести подобные легче.
=
=
.
перегруппируем слагаемые, чтобы вынести каждую степень отдельно:
.
Этот многочлен равен , таким образом, получается система уравнений:
Построим расширенную матрицу и применим метод Гаусса:
Сначала обнулим всё ниже чем
,
затем ниже
.
Ниже
можно уже и не обнулять, ведь идея метода
Гаусса состоит в том, чтобы количество
неизвестных снижалось, вплоть до одной
в последнем уравнении, а здесь уже так
и есть, в последнем уравнении всего один
элемент. Сначала выразим
,
затем через неё
и так далее. Система может быть представлена
в виде:
,
,
,
.
Тогда в интеграле функция распадается на сумму 4 слагаемых:
из всех вынесли общий коэффициент
,
и перед третьим слагаемым поставили
знак минус. Получается:
=
=
.
Ответ. .
Рациональные дроби. Случай 3. Если есть комплексные корни.
В следующих задачах в знаменателе будут неразложимые множители 2-й степени с отрицательным дискриминантом.
Задача 8. Вычислить интеграл
.
Решение. Запишем разложение на
простейшие дроби:
.
Это равно
.
Тогда
.
,
итого
,
,
.
Тогда
.
Во втором слагаемом, можно подвести под знак дифференциала:
=
=
.
Ответ. .
Задача 9. Вычислить интеграл
.
Решение. Применим формулу суммы кубов
=
.
Знаменатель дальше разложить невозможно, ведь во второй скобке отрицательный дискриминант. Теперь извлечём дробь и разложим на простейшие.
=
.
Тогда
(приравняли числители этой дроби и той
исходной, что была в интеграле).
Тогда
.
Система уравнений:
,
решая её методом Гаусса, получаем:
на последнем этапе, от 3 строки отняли 2-ю. Получили систему:
,
здесь
,
,
.
Тогда надо рассматривать такую сумму интегралов:
=
=
=
=
Разбили дробь так, чтобы в одной части подвести под знак дифференциала, а во второй в числителе 1, там можно выделить полный квадрат и свести к арктангенсу.
Модуль во втором логарифме не нужен, так как там у выражения отрицательный дискриминант, т.е. нет корней, оно положительно.
=
.
Ответ.
Домашняя задача. Вычислить интеграл
.
Решение.
=
.
,
тогда система уравнений для неопределённых
коэффициентов:
.
Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получим:
,
т.е.
,
тогда
.
Итак,
=
=
.
Ответ.
.
ПРАКТИКА № 5.
Интегрирование иррациональностей.
Задача 1. Вычислить интеграл
.
Решение. Здесь есть корни порядка
2 и 3. Наименьшее общее кратное, НОК(2,3) =
6. Поэтому замена
.
При этом,
,
,
,
,
.
Тогда
=
=
=
=
.
Сделаем обратную замену и получим:
Ответ.
.
Задача 2. Вычислить интеграл
.
Решение. Здесь также корни порядка 2 и 3, НОК(2,3) = 6.
Замена
.
При этом,
,
,
,
.
=
=
=
=
=
=
.
Во втором интеграле надо разложить на простейшие дроби.
.
,
откуда получаем
,
то есть
,
.
Тогда
=
=
.
После обратной замены:
Ответ.
.
Задача 3. Вычислить интеграл
.
Решение. Сначала сделаем замену
.
При этом
,
значит,
.
Тогда
=
.
Но внешний корень ещё не устранили,
поэтому сделаем 2-ю замену:
.
Тогда
,
,
,
соответственно:
=
=
.
После второй замены, уже получили интеграл от степенных функций!
=
.
Сделаем обратную замену:
=
,
и после обратной замены:
Ответ.
.
Задача 4. Вычислить интеграл
.
Решение 1.
Обозначим
как было в теории для случая
.
Тогда
.
Тогда
=
=
.
Подставляем в интеграл.
=
=
=
=
.
Первый это просто арктангенс, а второй
раскрываем по рекурсивной формуле, это
в точности как пример № 9 из позапрошлой
практики (практ. № 3).
Напомним, формула для связи между номерами 2 и 1 была в таком виде: . и ответ там был такой:
=
.
Итак,
=
=
, делаем обратную замену
=
=
=
.
Ответ. .
Решение 2 (с помощью тригонометрии, разобрать дома).
В интеграле
обозначим
,
при этом
.
При этом, правда, второй корень усложняется:
=
=
.
Необходима 2-я замена, чтобы устранить
корень
.
У нас здесь
.
Вводим замену
.
Тогда
.
Итак,
=
=
.
Теперь уже просто по формуле понижения степени.
=
=
=
=
=
.
Обратные замены: сначала обращаем
обратно вторую замену, которыу сделали
последней: если
то
.
Далее, обращаем 1-ю замену: , тогда в итоге:
Ответ.
.
Проверка.
=
=
=
=
.
Замечание. Два ответа разными
методами получились в разных, но на
самом деле эквивалентных формах записи.
Дело в том, что угол
это то же самое, что
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник:
Если синус равен
,
то при этом тангенс как раз и равен
по теореме Пифагора.