7.1.3.Анализ дискретных мм

В данной работе выполняется сравнительный анализ непрерывной и дискретной ММ по распределению корней, временным и частотным характеристикам. Более подробно методика анализа изложена в литературе [1-3].

Анализ распределения корней позволяет сделать вывод об устойчивости, колебательности и быстродействии объекта. При дискретизации непрерывных объектов нули и полюсы из комплексной s-плоскости переходят в комплексную z-плоскость. Связь между областями s- и z-плоскостей иллюстрируется рис. 7 .2.

s-плоскость

z-плоскость

Рис. 7.2. Связь между s- и z-плоскостями

Контур в основной полосе частот (здесь - частота квантования), соответствующий устойчивой области непрерывного объекта, преобразуется в единичную окружность z-плоскости. Дискретный объект устойчив, если все его корни находятся внутри единичной окружности z-плоскости.

При переходе от непрерывной ММ к дискретной в некоторых случаях появляются посторонние нули, расположенные на отрицательной части действительной оси z-плоскости (z_d0 на рис. 7 .3, б). Они не оказывают влияния на свойства системы и при обратном переходе в непрерывную область исчезают. Остальные корни связаны соотношением ( 7 .0 ), из которого следует, что действительные и комплексно-сопряженные корни непрерывного объекта на s- и z-плоскостях будут расположены аналогичным образом (рис. 7 .3).

s-плоскость а)

z-плоскость б)

Рис. 7.3. Распределение нулей и полюсов в s- и z-плоскостях

Анализ во временной области позволяет найти прямые показатели качества системы.

Для нахождения реакции системы, заданной в форме дискретной ПФ, можно использовать обратное z-преобразование от выходного сигнала, равного произведению ПФ и z-преобразования входного воздействия (например, для единичной ступенчатой функции ). Если не требуется получение результата в аналитическом виде, то несколько первых тактов можно найти, сделав разложение z-преобразования выходного сигнала в ряд по степеням z^-1 (ряд Лорана). Это разложение выполняется делением числителя на знаменатель:

,

( 7.0 )

где коэффициенты h[i] являются значениями временной последовательности с заданным периодом квантования T (см. свойство № 2 z-преобразования).

Для дискретной ММ в ПС существует аналитическое решение, аналогичное формуле Коши для непрерывных систем ( 7 .0 ):

.

( 7.0 )

Если не требуется аналитическое решение задачи, то вычисление временной последовательности удобно проводить непосредственно по разностным уравнениям «вход-выход» ( 7 .0 ) и системе в ПС ( 7 .0 ).

Рис. 7.4. Временные характеристики дискретно-непрерывной системы

Ограничением анализа временных характеристик непрерывных объектов по дискретным ММ является полное отсутствие информации о поведении объекта в промежутках между тактами квантования (рис. 7 .4). В работе выполняется моделирование непрерывной части с уменьшенным шагом по времени, что позволяет наблюдать реальную картину динамических процессов.

Анализ в частотной области выполняется аналогично непрерывным системам. В дискретной ПФ заменой

,

( 7.0 )

Рис. 7.5. Амплитудно-частотная A()

и фазо-частотная () характеристики

непрерывной (пунктир) и дискретной ММ

где - частота квантования, - относительная частота (в рад), n=0, 1, 2 … - целые числа,

получают выражения для действительной и мнимой частотных характеристик. Анализ (  7 .0 ) показывает, что частотные характеристики являются периодическими функциями с периодом по частоте  _s и симметричными относительно  = 0 (рис. 7 .5), поэтому их обычно строят при изменении относительной частоты от 0 до .