Розділ 2 Траєкторії руху точок на частині круга, що котиться

1. Сектор

Розглянемо явище, яке умовно можна назвати «коченням» сектора.

В оно є рухом, який відбувається в 4 етапи: кочення по дузі, обертання навколо т. В, навколо т. О та навколо т. А за год. стрілкою.

Виведемо параметричні рівняння, що задаватимуть рух точки А, вважаючи заданими радіус R та центральний кут сектора α.

Не обмежуючи загальності, вважатимемо, що рух починається з кочення, тобто в початковому стані сектор дотикається до прямої, по якій котитиметься точкою, що лежить на кінці дуги(т. А)

Розглянемо рівняння руху для двох точок, решта рівнянь виводяться аналогічно.

Дослідимо рух т. А.

Рух будемо параметризувати через кут t між вектором та його початковим положенням.

Перейдемо до виводу рівнянь руху.

1. Кочення

Тут т. А описує дугу циклоїди, тобто її координати обчислюватимуться за формулами

при цьому t змінюється в межах від до  включно.

2. Поворот навколо другого кінця дуги (т. В(r;0)) на . (одразу після кочення радіус ОВ перпендикулярний до прямої)

т. А описує дугу кола.

, де k – хорда сектора AB.

3. Поворот навколо т. О(r(+1);0) на ).

Дуга кола з радіусом r.

Тут

4. Поворот навколо т. А (r( );0) на - тут т. А залишається нерухомою.

Рух т. А періодичний вздовж осі OY періодичний з періодом T=2π.

Отже, ми маємо рівняння, задане на таких проміжках:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Для траєкторія т. А в дод. (Мал.6)

Траєкторія для т. О (центра)

Маємо аналогічний рух у 4 етапи на тих самих проміжках(для того самого t):

1. Кочення

Розглядаючи траєкторію центра(т. О), ми бачимо відрізок прямої. Це пояснюється означенням кола, як ГМТ, рівновіддалених від центра.

Відрізок прямої

,

2. Поворот на навколо т. B( ;0)

Дуга кола

,

3. Поворот на навколо т. O( ;0)

Точка

,

4. Поворот навколо т. A (r( );0) на

Дуга кола

,

Якщо розглядати іншу точку, віддалену від центра на певну відстань то ми матимемо трохоїду. Звідси маємо, що трохоїда з висотою h=0 – це пряма.

2. Півкруг

Розглянемо явище кочення для півкруга:

Його умовно можна поділити не на 4, а на 3 етапи:

1. Б езпосередньо кочення

2. Поворот навколо т. А на π/2

3. Поворот навколо т. В на π/2

Як ви можете побачити, третій етап руху для сектора для півкруга відсутній.

Це пояснюється тим, що кут повороту дорівнює 180 - =180 -180

Отже, ми матимемо рівняння кола, циклоїди або трохоїди, в залежності від того, яку точку ми досліджуватимемо та який процес відбувається з сектором.(Приблизний вигляд можливих траєкторій інших точок для півкруга та сектора при в додатку Мал.№7-12)

Розділ 3

3.1 Циклоїдальні криві 2 порядку

Тепер розглянемо такий випадок:

Коло(1) радіуса з центром котиться всередині кола(0) радіуса з центром О, при цьому кутова швидкість руху т = , а в ньому котиться коло(2) радіуса з центром , кутова швидкість руху якого = .

(ілюстрації в дод.)

Таким чином, траєкторію, що ми шукатимемо можна умовно назвати гіпоциклоїдою другого порядку.

Отже, розглянемо вивід рівняння цієї кривої:

(ілюстрації в дод.)

Оскільки

Координати т. задаються таким рівнянням:

т. лежить на , т. була б центром кола(2), якби воно не котилось.

:

т. - реальний центр рухомого кола(2)

:

;

– відношення радіуса нерухомого кола R до радіуса 1 рухомого кола

Отже, тепер знайдемо координати т. T:

))

– відношення .

Заув.

При маємо гіпоциклоїду 1 порядку з R= ; r =

При R= ; r =

При гіпоциклоїду з R= ; r =

Приклади гіпоциклоїди 2 порядку в дод. (Мал. 21-27)

А налогічно можна вивести рівняння епіциклоїди(епітрохоїди) 2 порядку: