5 Вычисление площади криволиненой трапеции

Указания к работе: Перед реализацией алгоритма задача должна быть решена соответствующим способом математики или другой науки и получен ответ для контрольного примера. Второй расчет – приближенное вычисление интеграла вручную.

Общие задания:

Вычислить с помощью компьютера интегралы. Использова ть алгоритм прямоугольников, полагая n=1000.

1. 2. 3.

Индивидуальные задания:

1. 1.Используя приближенное интегрирование, найти приближенное значение П. Для этого вычислить площадь четверти единичного круга (см. рисунок), а затем увеличить ее в четыре раза. В алгоритме прямоугольников считать n=50.

2. Вычислить приближенное значение П, пользуясь интегралом , n взять равным 50.

3. Дано действительное а. Пусть f(x) – такая функция, что f(a)>0 и f(x) обращается в 0 для некоторого x>a. Найти площадь криволинейной трапеции изображенной на рисунке. Вид f(x), а также а, b и n взять из условия следующей задачи.

4. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Используя приближенное интегрирование, найти на отрезке [a,b] точку такую, что промежуточная криволинейная трапеция имеет наибольшую площадь, найдите значение этой площади (задача представляет интерес для знакопеременной функции f(x)). Рассмотреть f(x)=sin x + cos 5,6x. Положить а=0, b=7, n=60.

5. Ракета была запущена вертикально вверх. Известна зависимость скорости полета от времени – функция U(t). В начале полета скорость возрастала, а через некоторое время начала уменьшаться. Определить высоту ракеты над землей к тому моменту, когда скорость начала падать (см. рис.). Использовать для решения алгоритм прямоугольников. Считать Тнач=0, в качестве U(t) рассмотреть (-t²+20t-90)lg(t/15), h=0.2.

6. Рассмотрим функцию Y(x) определенную для любого числа с>=1 следующим образом: Y(c )=площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции 1/х и вертикальными прямыми х=1, х=с. В курсе математического анализа устанавливается, что при любых больших или равных 1 числах а и b имеет место равенство Y(ab)=Y(a)+Y(b). Для данных чисел а и b (1<a<=b<10) вычислить Y(a), Y(b), Y(ab) и Y(a)+Y(b)-Y(ab). В качестве шага приближенного интегрирования взять 0,1.

7. Рассмотренный приближенный алгоритм часто называют алгоритмом средних прямоугольников, так как функция вычисляется в точке, являющейся серединой основания прямоугольников. Аналогичным образом рассмотреть алгоритм левых прямоугольников – функция вычисляется в левом конце основания. Написать программу реализующую этот алгоритм и вычислить по ней a) . b) c)

8. Написать программу для алгоритма правых прямоугольников (функция вычисляется в правом конце основания, см. задачу 7). Вычислить

а) . б) в) г)

9. Рассмотрим функцию F(x), положив для любого с по определению F( c)= . Таким образом F(c -это площадь промежуточной криволинейной трапеции. Вывести таблицу значений функций f(x) и F(x), имеющую три колонки. В каждую строку таблицы заносятся хi, f(xi), F(xi), где , i=1,n , f(x) определена на [a,b]. Вычисления произвести для

10. Шар радиуса r плавает на поверхности воды, погруженный в нее на глубину d (d<2). Требуется вычислить работу, которую нужно совершить для того чтобы погрузить шар в воду целиком. Написать выражение для этой работы по данным d и r. Указание: при составлении программы использовать формулу объема шарового сегмента высоты h: V=1/3Пh²(3r-h). (см. рис.)