Доказательство:

Пусть , , .

Для определенности имеем:

.

< <

< . < .

Противоречие.

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.

- сходящаяся : .

Возьмем =1 .

Обозначим , тогда

, тогда

Отсюда для обоих случаев

Замечание: обратное не верно.

БИЛЕТ 4. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

Теорема: (о предельном переходе в неравенство):

Пусть , . . Тогда .

Замечание:

.

Доказательство (от противного):

Пусть .

Возьмем .

Обозначим

.

- противоречие.

Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что . .

= , = , .

Теорема (о промежуточной последовательности).

Пусть , и . Тогда существует .

Замечание:

( ).

Доказательство:

Возьмем произвольный .

. Тогда . . ( ).

.

Теорема: (об отделимости от нуля).

Пусть и . Тогда .

Замечание: - ограниченная.

( ).

.

.

БИЛЕТ 5. Бесконечно малые и ограниченные последовательности. Арифметика бес­конечно малых последовательностей.

Определение: Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью, если , то есть .

Теорема: бесконечно малая последовательность.

(I)-

(II)-

(I) (II) =

(II) (I) =

Замечание: Фактически мы дали эквивалентность определений сходящейся последовательности.

Определение: Последовательность будем называть ограниченной последовательностью, если .

Замечание: Ранее мы доказали, что всякая сходящаяся, в том числе и бесконечно малая последовательность ограничена.

Арифметика бес­конечно малых последовательностей.

Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пусть . Возьмем произвольный .

Аналогично

.

Обозначим .

Тогда .

То есть

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

, - ограниченная, то есть .

Возьмем произвольный .

- бесконечно малая.

.

Обозначим . Тогда

.

То есть

Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.

БИЛЕТ 6. Теорема об арифметике пределов последовательностей.

Пусть , . Тогда:

1) существует

2) существует

3) если то существует .