1.4. Действия над матрицами

1.4.1. Линейные операции над матрицами.

Линейными операциями над матрицами называются:

1. сложение и вычитание матриц;

2. умножение матрицы на действительное число.

Матрицы А и В равны (А = В), если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы совпадают, то есть a_ij = b_ij (i, j).

Опр. 1. Суммой (разностью) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих (т.е. с одинаковыми индексами) элементов матриц А и В. Тогда для суммы имеем: c_ij=a_ij+b_ij (для разности: c_ij = a_ij – b_ij). Обозначение С = А + В (С = А – В)

Пример. Дано: А = , В = . Найти А+В и АВ.

Решение: а) А + В = + = ;

б) А – В =  =

NB. Сложение и вычитание матриц возможно только для матриц одинаковой размерности.

Опр. 2. Произведением матрицы А на действительное число  называется матрица В, получаемая из матрицы А умножением всех ее элементов на число: b_ij = a_ij . Обозначение В = А или В = А.

Пример. Дано: А = ,  = 2. Найти А.

Решение: А = (2) =

Следствие.

Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример. А = = 2

Матрица (А) = (1)А называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц:

1) коммутативность (переместительное свойство): А + В = В + А;

2) ассоциативность (сочетательное свойство): А + В + С = (А + В) + С = А + (В + С);

3) свойство противоположной матрицы: А + (А) = О;

4) свойство нулевой матрицы: О + А = А.

Свойства умножения матрицы на число:

5) дистрибутивность (распределительное свойство) относительно суммы матриц:

(А+В) = А+В;

6) дистрибутивность относительно суммы чисел: ( +)А = А + А;

7) ассоциативность (сочетательное свойство) относительно произведения:

А = ()А = (А) = (А);

8) А =

NB 1. Элементы произвольной природы А, В, С …, для которых выполняются линейные операции сложения (Опр. 1) и умножения на число (Опр. 2), и которые удовлетворяют свойствам 18, образуют, так называемое, линейное пространство. Примеры линейных пространств: матрицы, векторы, множество действительных чисел R.

NB 2. Для матриц кроме линейных операций имеют место и нелинейные операции  это умножение матрицы на матрицу и операция транспонирования матрицы.

1.4.2. Умножение матрицы на матрицу.

Перемножать можно только согласованные матрицы.

Опр. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Например, матрица А_mn является согласованной с матрицей B_nk, так как в записи их произведении A_mn B_nk внутренние индексы совпадают (n = n). Тогда результирующая матрица С будет иметь размерность внешних индексов: С_mk. Однако матрица B_nk не является согласованной с матрицей A_mn, поскольку в произведении B_nk A_mn внутренние индексы не совпадают (k m). Следовательно, можно умножить матрицу A_mn на матрицу B_nk, но нельзя умножить B_nk на A_mn.

Матрицы А и В называются взаимно согласованными, если А согласована с В, а В согласована с А. Это бывает, если А и В – квадратные матрицы одного порядка или если A_mn, а B_nm.

NB. Умножение матрицы А на матрицу В обозначается символом АВ. Произведение матриц АВ еще называют умножением слева матрицы А на матрицу В либо умножением справа матрицы В на матрицу А.

Опр. Произведением матрицы A_mn на матрицу B_nk называется матрица C_mk, каждый элемент которой c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj = (i = ; j = ), то есть элемент c_ij равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Или кратко: элемент c_ij равен произведению i-ой строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В.

На рисунке 1.4 схематично показан пример получения элемента с₂₁ матрицы С.

A_4x3 B_3x5 C_4x5

. =

с₂₁ = а₂₁b₁₁ + а₂₂b₂₁ + а₂₃b₃₁

Рисунок 1.4

Пример. Дано: А= ; В= . Найти АВ и ВА.

Решение. Так как матрицы А и В взаимно согласованы, то получим

1) А_2×3 В_3×2 = С_2×2;

А_2х3В_3х2= . = = = ;

2) В_3×2 А_2×3 = D_3×3;

2) В_3х2А_2х3= . = = =

NB. Очевидно, что в общем случае, произведение двух матриц не обладает переместительным свойством, то есть АВ ВА.

Матрицы А и В называются коммутативными (перестановочными), если АВ = ВА.

NB. Матрицы Е и О всегда являются перестановочными по отношению к другим матрицам, так как

1) АЕ = ЕА = А

2) АО = ОА = О