2. Линеаризация функций случайных величин.
Рассмотренный выше метод нахождения числовых характеристик функций случайных величин без определения закона распределения этих функций применим в основном к линейным функциям.
На практике очень часто встречаются случаи, когда исследуемая функция случайных величин хотя и не является строго линейной, но практически мало отличается от линейной и при решении задачи может быть приближенно заменена линейной. Это связано с тем, что во многих практических задачах случайные изменения фигурирующих в них величин выступают как незначительные «погрешности», накладывающиеся на основную закономерность. Вследствие сравнительной малости этих погрешностей обычно фигурирующие в задаче функции, не будучи линейными во всем диапазоне изменения своих аргументов, оказываются почти линейными в узком диапазоне их случайных изменений.
Действительно, из математики известно, что любая непрерывная дифференцируемая функция в достаточно узких пределах изменения аргументов может быть приближенно заменена линейной (линеаризована). Ошибка, возникающая при этом, тем меньше, чем уже границы изменения аргументов и чем ближе функция к линейной. Если область практически возможных значений случайных аргументов настолько мала, что в этой области функция может быть с достаточной для практики точностью линеаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можно применить к последней тот аппарат числовых характеристик, который разработан для линейных функций. Зная числовые характеристики аргументов, можно будет найти числовые характеристики функции, Конечно: при этом мы получим лишь приближенное решение задачи, но в большинстве случаев точного решения и не требуется.
При решении практических задач, в которых случайные факторы сказываются в виде незначительных возмущений, налагающихся на основные закономерности, линеаризация почти всегда оказывается возможной именно в силу малости случайных возмущений.
Рассмотрим вначале задачу линеаризации функции одного случайного аргумента.
Пусть имеется случайная величина X и известны ее числовые характеристики: mx и Dx.
Допустим,
что практически возможные значения
случайной величины X
ограничены пределами
т. е.
Имеется другая случайная величина У, связанная с X функциональной зависимостью:
(4.8)
причем
функция
хотя не является линейной, но мало
отличается от линейной на участке
.
Требуется найти числовые характеристики величины - математическое ожидание ту и. дисперсию Dy.
Рассмотрим
кривую
на участке
и заменим её приближенно касательной,
проведенной
в точке с абсциссой mx.
Уравнение касательной имеет вид:
(4.9)
Учитывая
малое отличие прямой (4.9) от функции
(4.8) на интервале
,
заключаем, что случайные величины X
и Y
приближенно связаны линейной зависимостью:
(4.10)
К
линейной функции (3.10) можно применить
известные приемы определения числовых
характеристик линейных функций. Так
как математическое ожидание аргумента
в (4.10) равно нулю, то математическое
ожидание функции (4.10):
(4.11)
Дисперсия величины определится по формуле
(4.12)
а СКО
(4.13)
Очевидно, что формулы (4.11), (4.12), (4.13) являются приближенными.
Таким образом, чтобы найти математическое ожидание почти линейной функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его математическое ожидание. Чтобы найти дисперсию почти линейной функции, нужно дисперсию аргумента умножить на квадрат производной функции в точке, соответствующей математическому ожиданию аргумента.
Рассмотрим линеаризацию функции нескольких случайных аргументов.
Имеется система случайных величин (n – мерный случайный вектор):
,
заданы числовые характеристики системы: математические ожидания
и ковариационная матрица
Случайная величина есть функция аргументов :
(4.14)
причем
функция
не линейна, но мало отличается от линейной
в области практически возможных значений
всех аргументов («почти линейная»
функция). Требуется приближенно найти
числовые характеристики величины
- математическое
ожидание
и дисперсию
.
Для решения задачи подвергнем линеаризации функцию
(4.15)
Разложим
функцию (4.15) в ряд Тейлора в окрестности
точки
сохраняя члены только до первого порядка
малости включительно
Введём обозначение:
Тогда зависимость (4.14) можно приближенно заменить линейной зависимостью
(4.16)
Имея
в виду, что центрированные аргументы
имеют математические ожидания, равные
нулю, и ту же ковариационную матрицу
,
найдем числовые характеристики линейной
функции (4.16):
(4.17)
(4.18)
(4.19)
где
- коэффициент корреляции величин
.
Если
величины
не коррелированы, т.е.
при
,
то
(4.20)
Формулы (4.18)-(4.20) находят широкое применение в практических задачах.
В некоторых задачах практики возникает сомнение в применимости метода линеаризации в связи с тем, что диапазон изменений случайных аргументов не настолько мал, чтобы в его пределах функция могла быть с достаточной точностью линеаризована.
В этих случаях для проверки применимости метода линеаризации и для уточнения полученных результатов может быть применен метод, основанный на сохранении в разложении функции не только линейных членов, но и некоторых последующих членов более высоких порядков и оценке погрешностей, связанных с этими членами-
Пример
Расстояние
от некоторой точки О до объекта R
(рис.
1)
определяется
следующим образом:
Рис. 1
измеряется
угол
,
под которым виден объект из точки О;
далее, зная линейный размер объекта X и
считая угол
малым, определяют расстояние по
приближенной формуле:
.
Линейный
размер объекта X,
видимый из точки О,
в зависимости от его случайного поворота
может изменяться в пределах от 8 до 12 м;
угол
определяется с точностью до 0,0001 радиана.
Расстояние
велико по сравнению с размером объекта
X. Угол
измеряется без систематической ошибки.
Результат измерения
радиана.
Найти приближенно среднее квадратическое
отклонение
ошибки в определении расстояния
.
Решение. Применяя метод линеаризации, имеем
Линейный
размер
будем считать равномерно распределенным
в интервале (8; 12) -
:
;
Результат
измерения угла
будем считать нормально распределенной
случайной величиной с математическим
ожиданием
и средним квадратическим отклонением
(в соответствии с правилом «трёх сигм»):
.
Тогда
