1.10. Диференційні операції другого порядку

Після застосування  до скалярного або векторного поля отри-муємо нове поле, до якого можна знову застосувати  і отримати диференційні операції другого порядку. Зрозуміло, що до скалярного поля не можна застосувати диференційну операцію, яка застосовується лише до векторного поля. Тому, наприклад, наступні “операції” не мають змісту: . Нескладно перевірити, що лише диференційні операції 2-го порядку, розміщені зліва, мають зміст.

Розглянемо три найбільш суттєві диференційні операції другого порядку:

1.

Тут символічний скаляр: = , (1.20)

називається скалярним диференціальним оператором другого порядку або оператором Лапласа (П’єр Сілон Лаплас (1749-1827) – французький математик, астроном і фізик), позначають через , тому: .

Або можна записати і в такому вигляді: . Такий вираз Лапласа часто використовують в електродинаміці. Розв’язками рівняння Лапласа є відомі в математичному аналізі “гармонічні функції”.

2. так як

_бо – векторний добуток однакових векторів дорівнює нулю.

3. так як: , оскільки змішаний добуток трьох векторів, з яких два однакових, дорівнює нулю.

1.11. Приклади найпростіших полів

1. 

2. 

3. 

1. Трубчате (соленоїдальне) поле:

Поля, для яких , називають соленоїдальними. Оскільки , то поля є соленоїдальні.

2. Потенціальне (безвихрове) поле:

Це є поле, для якого . Раніше давали визначення потенціальному полю: Оскільки , тому потенціальні поля називають також безвихровими. Потенціальне поле характеризується інтенсивністю його витоків (стоків), тобто величиною як функцією координат.

3. Гармонічне поле

Потенціальні поля , для яких , можуть бути одночасно і соленоїдальними ( ), тоді вони називаються гармонічними.

1.12. Деякі залежності векторного аналізу

В цьому розділі наведені без доведень основні формули та теореми, які будуть застосовуватися у подальшому вивченні дисципліни „Електродинаміка інформаційних систем” і потребують простого розуміння.

	(1.21)
	(1.22)
	(1.23)
	(1.24)
	(1.25)
	(1.26)
	(1.27)

1.13. Інтегральні формули векторного аналізу:

1. Теорема Остроградського-Гауса:

(1.28)

2. Теорема Стокса:

(1.29)

3.Теорема Остроградського-Гауса для ротора:

(1.30)

4. Формули Гріна:

1-ша: (1.31)

2-га: (1.32)

5. Формула Гріна в диференціалах:

(1.33)

6. Формула Остроградського-Гауса в диференціалах:

(1.34)