Задание для самостоятельной работы

1. По результатам лабораторной работы №4 (методические указания №1 ) провести оптимизацию процесса или свойства продукции (с учетом вашего задания). Оптимизацию процесса, описываемого уравнением регрессии у₁, осуществить методом золотого сечения, а уравнением регрессии у₂ – методом Фибоначчи.

2. Провести сравнительный анализ методов оптимизации.

3. Сделать выводы по работе.

Содержание и оформление отчета

5. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта);

6. Тема, цель и индивидуальное задание.

7. Результат выполнения работы в соответствии с индивидуальным заданием.

8. Выводы по лабораторной работе.

Контрольные вопросы

1. Что такое оптимизация, и с какой целью ее проводят?

2. Какие методы оптимизации вы знаете? В чем сущность и алгоритм оптимизации по методу золотого сечения?

3. В чем сущность и алгоритм оптимизации методом Фибоначчи?

4. В чем сущность и алгоритм оптимизации методом последовательной дихотомии?

5. В чем сходство и различие методов оптимального многомерного и одномерного поиска?

6. Как определяется окончание процедуры оптимизации в случае одномерного поиска?

7. Назовите количественные критерии эффективности методов оптимизации? Какой их физический и математический смысл?

Лабораторная работа №3

Исследование области оптимальных условий ортогональных планов второго порядка

Цель работы: ознакомиться с методами планирования эксперимента при описании почти стационарной области с использованием ортогональных планов второго порядка.

Задание: 1. Изучить особенности планирования эксперимента методом ортогонального и рототабельного планирования;

2. Получить адекватное уравнение регрессии с помощью ортогонального планирования, описывающее влияние факторов на качество конкретной продукции, в соответствии с заданием.

Основные сведения

Композиционные планы для построения полиномов второго порядка получают добавлением некоторых точек к планам формирования линейных функций. Это дает возможность в задачах исследования сначала попытаться построить линейную модель, а затем при необходимости, добавив наблюдения, перейти к моделям второго порядка, используя ранее полученные результаты и сохраняя при этом некоторое заданное свойство плана, например его ортогональность.

Полином второго порядка содержит эффектов:

(3.1)

Построение такой модели требует применения плана, в котором каждая переменная принимает хотя бы три различных значения.

Существуют различные подходы к построению планов второго порядка.

- Можно воспользоваться ПФЭ типа 3^k, но такие планы обладают большой избыточностью. Например, для трех переменных количество точек плана составит 27, а количество оцениваемых коэффициентов в функции отклика равно 10.

- В соответствии с идеей пошагового эксперимента, планирование рационально осуществлять путем добавления специально подобранных точек к “ядру”, образованному линейным планом ПФЭ или ДФЭ. Такие планы называют композиционными (последовательными), они позволяют использовать информацию, полученную в результате реализации линейного плана.

Композиционные планы используются обычно на заключительном этапе исследования, когда модель приходится подбирать последовательно, начиная с простейшего линейного уравнения, которое потом достраивается до полной квадратичной формулы. В этом случае композиционные планы выигрывают по числу опытов в сравнении с другими планами.

Эти планы можно применять и при непосредственном построении функции отклика в виде полинома (3.1).

Решение подобных задач основано на применении ортогональных или ротатабельных центральных композиционных планов (ЦКП).

Эти планы используют в качестве ядра полный факторный эксперимент или минимально возможные регулярные дробные реплики типа 2^{k – p}. При этом в качестве дробной реплики применяют такую, в которой два любых парных взаимодействия по модулю не равны друг другу для любых попарно различных индексов, т.е.

|x_ix_j|  |x_s x_z| (3.2)

Именно план ПФЭ или дробные реплики, удовлетворяющие указанному условию, служат ядром ЦКП.

На практике широкое распространение получили два типа ЦКП, известные как планы Бокса и Хартли.

Понятие “центральный” означает, что факторы принимают значения, симметричные относительно центра плана.

Центральный композиционный план второго порядка называют планом Бокса, если его ядром является ПФЭ 2^k или регулярная реплика типа 2^{k – p}, для которой парные взаимодействия не равны по модулю линейным факторам: x_i  x_sx_z; s  z; а i, s, z = 1, 2, …, k и, кроме того, выполняется условие (3.2), т.е. |x_ix_j|  |x_s x_z|.

Применение ПФЭ или регулярных реплик, отвечающих этим условиям, позволяет получить несмещенные оценки коэффициентов модели (3.1).

Из условий построения дробной реплики следует, что разрешающая способность ядра плана должна быть больше четырех, т.е. определяющий контраст должен содержать не менее пяти переменных. Следовательно, ядром плана Бокса при k < 5 является ПФЭ, а при k  5 может быть ДФЭ.

План Бокса можно сделать ортогональным или ротатабельным. Но нельзя добиться одновременного и строго соблюдения обоих свойств. В некоторых случаях ЦКП можно сделать приближенно и ортогональным, и ротатабельным, если вначале построить ротатабельный план, а затем подобрать необходимое количество опытов в центральной точке.

Центральный композиционный план второго порядка называют планом Хартли, если его ядром является регулярная реплика типа 2^{k –p}, в которой некоторые парные взаимодействия равны по модулю линейным факторам, т.е. |x_ix_j| = |x_s |.

Иначе говоря, ЦКПлан второго порядка будет или планом Бокса, или планом Хартли. Планы Хартли более экономны по числу опытов, чем планы Бокса, но уступают им по точности оценивания коэффициентов, кроме того, их нельзя сделать ни ортогональными, ни ротатабельными. Такой план не позволяет получить раздельные оценки соответствующих коэффициентов.

Планы Хартли целесообразно применять, если известно, что часть эффектов b_j или b_ji в модели отсутствует, следовательно, простые эффекты можно смешивать с парными взаимодействиями, не теряя в разрешающей способности плана, или тогда, когда дисперсия наблюдений относительно мала.

В планах Бокса к ядру, построенному на основе ПФЭ или ДФЭ, добавляется одна точка в центре плана с координатами (0, 0, ..., 0) и 2k "звездных" точек с координатами ( , 0, ..., 0), (0,  , ..., 0)..., (0, 0, ...,  ).

Построенный таким образом план будет ЦКП второго порядка.

Рассмотрим построение ортогональных центральных композиционных планов (ОЦКП) второго порядка.

Общее количество точек плана при использовании ОЦКП составит :

N = 2^k +2п+ 1, (3.3)

где 2^k = N_o – количество опытов полного факторного эксперимента; 2п – число так называемых звездных точек в факторном пространстве, имеющих координаты ( , 0, ..., 0), (0,  , ..., 0), ..., (0, 0, ...,  );  - называется звездным плечом; 1 – опыт в центре планирования, т.е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, …, 0).

Рис. 3.1. Графическое изображение ОЦКП для трех факторов

ПФЭ 23 образует ядро композиционного плана, которое на рис. 3.1 изображено кружками и затемненными точками. В качестве дополнительных точек для наблюдений возьмем шесть «звездочек» с координатами: (-1, 0, 0), (+1, 0, 0), (0, -2, 0), (0, +2, 0), (0, 0, -3), (0, 0, +3). При построении ЦКП используют по параллельных опытов в его центре (затемненный квадрат на рис. 3.1).

Они необходимы для проверки гипотезы адекватности модели и получения информации о центре плана. В табл. 3.1 и 3.2 содержится описание соответствующих матриц планирования для ЦКП при п = 2. Количество опытов для данного плана N = 2² + 2·2 + 1 = 9.

При п=3 количество опытов возрастает до N = 2³ + 2·3 + 1 = 15.

Аналогично строятся ЦКП для произвольного числа факторов, при этом каждый фактор варьируется на пяти уровнях: – ; – 1; 0; +1; +.

Таблица 3.1			Таблица 3.2
Ядро плана			Дополнительные точки
x1	x2		x1	x2
+	+			0
–	+		– 	0
+	–		0	
–	–		0	– 
			0	0

В матрице плана второго порядка не у всех столбцов соблюдается условие симметрии и не все пары столбцов ортогональны.

Например, рассмотрим ОЦКП второго порядка для трех переменных, табл. 3.3.

Суммы так как  0 для всех строк плана.

Для устранения асимметрии и нарушений ортогональности ЦКП Бокса необходимо провести преобразование квадратичных параметров и специальным образом выбрать величину плеча  (расстояние до центра плана).

Таблица 3.3 ОЦКП второго порядка

План	x0	x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2 x3	x12	x22	x32
ПФЭ	+	–	–	–	+	+	+	+	+	+
	+	+	–	–	–	–	+	+	+	+
	+	–	+	–	–	+	–	+	+	+
	+	+	+	–	+	–	–	+	+	+
	+	–	–	+	+	–	–	+	+	+
	+	+	–	+	–	+	–	+	+	+
	+	–	+	+	–	–	+	+	+	+
	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+
Звездный	+	–1	0	0	0	0	0	12	0	0
план	+	1	0	0	0	0	0	12	0	0
	+	0	–2	0	0	0	0	0	22	0
	+	0	2	0	0	0	0	0	22	0
	+	0	0	–3	0	0	0	0	0	32
	+	0	0	3	0	0	0	0	0	32
Центр плана	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Чтобы добиться соблюдения свойства симметричности, следует перейти от x_i² к центрированным величинам x_i^* = x_i² – x²_{i ср} (сумма центрированных величин равна нулю). Среднее значение x²_{i ср}, как видно из табл. 3.3, для всех x_i² одинаково и равно:

x²_{i ср}= c = (2^k +2²)/N. (3.4)

Тогда исходную квадратичную модель (3.1) можно преобразовать:

y^' =b₀ + b₁x₁+ … + b_пx_п + b₁₂x₁x₂ + … + b_{п–1, п}x_п–1x_п+

+b₁₁(x₁² – x²_{1 ср} + x²_{1 ср}) + … + b_пп(x_п² – x²_{п ср} + x²_{п ср}) =

= d₀ + b₁x₁+ … + b_пx_п + b₁₂x₁x₂ + … + b_{п–1, п}x_п–1x_п+ b₁₁x₁^* + … + b_ппx_п^*,

где d₀ = b₀ + b₁₁ x²_{1 ср} + … + b_{п–1, п} x²_{п ср} = b₀ + c(b₁₁ + … + b_{п–1, п}).

Исходная и преобразованная модели эквивалентны, кроме того, в них все коэффициенты, за исключением нулевого, совпадают.

После преобразования получим матрицу планирования, табл. 3.4.

В этой таблице суммы элементов по всем столбцам, за исключением столбца x₀, равны нулю, т.е. в преобразованной таблице соблюдается свойство симметричности.

Таблица 3.4. Преобразованная матрица ОЦКП второго порядка

План	x0	x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2 x3	x1*	x2*	x3*
ПФЭ	+	–	–	–	+	+	+	1–с	1–с	1–с
	+	+	–	–	–	–	+	1–с	1–с	1–с
	+	–	+	–	–	+	–	1–с	1–с	1–с
	+	+	+	–	+	–	–	1–с	1–с	1–с
	+	–	–	+	+	–	–	1–с	1–с	1–с
	+	+	–	+	–	+	–	1–с	1–с	1–с
	+	–	+	+	–	–	+	1–с	1–с	1–с
	+	+	+	+	+	+	+	1–с	1–с	1–с
Звездный	+	–	0	0	0	0	0	2–с	–с	–с
план	+		0	0	0	0	0	2–с	–с	–с
	+	0	–	0	0	0	0	–с	2–с	–с
	+	0		0	0	0	0	–с	2–с	–с
	+	0	0	–	0	0	0	–с	–с	2–с
	+	0	0		0	0	0	–с	–с	2–с
Центр плана	+	0	0	0	0	0	0	–с	–с	–с

Но столбцы квадратичных членов не являются ортогональными при произвольных значениях .

=  0, i  j.

Ортогонализация столбцов, приравнивание к нулю, достигается специальным выбором величины . Это значение величины  находится из уравнения: N_o (1 – c)² – 4c(² – c) + (2п – 4)c² + n_oc² = 0

Получаем N_o – 2(N_o +2²)с + c² (N_o + 2п +n_o)= N_o – 2с² N + c²N = 0.

Следовательно, с²N = N_o= 2^k. Тогда с = (N_o /N)^{1/ 2}.

Подставим найденное значение величины с в уравнение (3.4)

(N_o /N)^{1/ 2} = (2^k + 2² )/N.

Решив уравнение, найдем величину , которая придает матрице планирования (в том числе табл. 3.4) свойство ортогональности:

 = {[(N ·2^k)^1/2 – 2^k]/2}^{1/ 2}. (3.5)

Параметры ОЦКП в зависимости от числа факторов представлены (табл. 3.5).

Таблица 3.5. Значения параметров ОЦКП при числе факторов k

k	2	3	4	5	6	7	8
	1	1,215	1,414	1,547	1,761	1,909	2,045
с	0,667	0,73	0,8	0,86	0,91	0,946	0,968
N	9	15	25	43	77	143	273

При k=2 ОЦКП совпадает с планом ПФЭ 2³. «Звездные» точки ОЦКП в этом случае лежат на границах варьирования факторов. Если точки плана ПФЭ 2^k всегда лежат на окружности (поверхности шара, гипершара), то точки плана ОЦКП не лежат на какой-либо одной окружности (поверхности шара, гипершара).

При числе факторов k=3 ОЦКП имеем следующие параметры плана (табл. 3.6): N_o=2³=8; N= 8+2x3+1=15; c=(8/15)^1/2=0,73; 1-c=0,27;

-c=-0,73;  =[1/2{(15x8)^1/2-8}]^1/2=1,215; ²-c =1,215²-0,73=0,75

Таблица 3.6. Параметры ОЦКП при трех факторах

План	Номер опыта	x0	x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2 x3	x1 x2 x3	x1*= х12-с		x2*= х22-с	x3*= х32-с
ПФЭ	1	+	–	–	–	+	+	+	-	0,27		0,27	0,27
	2	+	+	–	–	–	–	+	+	0,27		0,27	0,27
	3	+	–	+	–	–	+	–	+	0,27		0,27	0,27
	4	+	+	+	–	+	–	–	-	0,27		0,27	0,27
	5	+	–	–	+	+	–	–	+	0,27		0,27	0,27
	6	+	+	–	+	–	+	–	-	0,27		0,27	0,27
	7	+	–	+	+	–	–	+	-	0,27		0,27	0,27
	8	+	+	+	+	+	+	+	+	0,27		0,27	0,27
Звездный	9	+	-1,215	0	0	0	0	0	0	0,75		–0,73	–0,73
план	10	+	1,215	0	0	0	0	0	0	0,75		–0,73	–0,73
	11	+	0	–1,215	0	0	0	0	0	–0,73		0,75	–0,73
	12	+	0	1,215	0	0	0	0	0	–0,73		0,75	–0,73
	13	+	0	0	–1,215	0	0	0	0	–0,73		–0,73	0,75
	14	+	0	0	1,215	0	0	0	0	–0,73		–0,73	0,75
Центр плана	15	+	0	0	0	0	0	0	0	–0,73		–0,73	–0,73
		N	0	0	0	0	0	0	0	0		0	0
		15	10,952			8					4,3727

Видно, что такой план является ортогональным. В отличие от ПФЭ, для ОЦКП сумма квадратов факторов разных столбцов не является одинаковой.

По результатам опытов плана формируется полином:

y^' =b₀ + b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃+ b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + b₂₃x₂x₃ + b₁₂₃x₁x₂ x₃ + b₄(x₁² – с) +

+ b₅(x₂² – с) + b₆(x₃² – с).

Преобразованный полином имеет вид:

y^' =b₀^’ + b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃+ b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + b₂₃x₂x₃ + b₁₂₃x₁x₂ x₃ + b₄x₁² +

+ b₅x₂² + b₆x₃².

Где b₀^’ = b₀ – b₄ с - b₅ с – b₆ с.

План ОЦКП не является насыщенным, так как, например, для k=3 полином имеет 11 членов уравнения со своими коэффициентами, но для их определения используется 15 опытов. Коэффициенты полинома b₀, b₁, b₂, b₃, b₁₂, b₁₃, b₂₃, b₁₂₃, b₄, b₅, b₆ определяются по формулам:

.

В приведенной формуле m= и обозначает общее количество оцениваемых коэффициентов полинома, за исключением нулевого.

Оценка коэффициента , тогда .

Оценки дисперсии коэффициентов регрессии для планов второго порядка, в отличие от линейных планов, являются различными, так как вычисляются по разным совокупностям точек плана. Оценку дисперсии коэффициентов рассчитывают по формулам:

;

где – оценка дисперсии среднего значения функции отклика в u-й точке плана.

Оценка функции отклика в точке (х₁, х₂, …, х_п,)^m

y^' =

Оценка дисперсии функции отклика

Оценка дисперсии функции отклика зависит не только от расстояния до заданной точки от центра, но и от ее положения в пространстве, т. е. ортогональный план второго порядка не являются ротатабельным.

Проверка однородности дисперсии воспроизводимости, значимости коэффициентов полинома в случае применения ортогональных ЦКП второго порядка осуществляется по рассмотренной выше схеме, т.е. если |b_i| > S_bi t, то коэффициенты значимы. Проверку адекватности уравнения регрессии проводят с помощью критерия Фишера.

Пример 3.1.Построить ОЦКП для двух факторов (k=2) х₁–температура пресса, х₂ – давление и получить уравнение регрессии, описывающее зависимость прочности клеевого соединения у от этих факторов.

Определим параметры плана:

N_o=2²=4; N = 2^k +2п+ 1; N= 4+2x2+1=9;

с = (2^k /N)^{1/ 2}; c=(4/9)^1/2=2/3=0.66; 1-c=1/3=0.34; -c=-2/3=-0.66;

 = {[(N 2^k)^1/2 – 2^k]/2}^{1/ 2};  =[1/2{(9x4)^1/2-4}]^1/2=1; ²-c =1²-0,66=0,34=2/3

Составим план эксперимента, табл. 3.7.

Таблица 3.7. Параметры плана ОЦКП

План	Номер опыта	x0	x1	x2	x1 x2	X3*= х12-с	X4*= х22-с	У1	У2	У3	ỹ
ПФЭ	1	+	–	–	+	0,34	0,34	4	4,5	3,5	4	у1
22	2	+	+	–	–	0,34	0,34	5	5,5	4,5	5	у2
	3	+	–	+	–	0,34	0,34	6	6,5	5,5	6	у3
	4	+	+	+	+	0,34	0,34	7	7,5	6,5	7	у4
Звездный	5	+	-1	0	0	0,34	-0,66	5	5,5	4,5	5	у5
план	6	+	+1	0	0	0,34	-0,66	7	7,5	6,5	7	у6
	7	+	0	–1	0	-0,66	0,34	4	4,5	3,5	4	у7
	8	+	0	+1	0	-0,66	0,34	6	6,5	5,5	6	у8
Центр плана	9	+	0	0	0	–0,66	–0,66	3	3,5	2,5	3	у9
		9	6	6	4	2	2

Рассчитаем коэффициенты полинома:

_{bo=(4+5+6+7+5+7+4+6+3) / 9 = 5,2;}

_{b1=(-4+5-6+7-5+7+0·4+0·6+0·3) / 6 = 0,7;}

_{b2=(-4-5+6+7-0·5+0·7-4+6+0·3) / 6 = 1,0;}

_{b12=(4-5-6+7+0·5+0·7+0·4+0·6+0·3) / 4 = 0;}

_{b3=0,34(4+5+6+7+5+7) – 0,66(4+6+3) / (6·0,342 + 3·0,662)= 1,5;}

_{b4=0,34(4+5+6+7+4+6) – 0,66(5+7+3) / (6·0,342 + 3·0,662)= 0,5.}

Полином, описывающий зависимость прочности клеевого соединения от температуры и давления, имеет вид:

y'=5,2+0,7x₁+ 1,0x₂+ 0 x₁x₂+ 1,5(x₁² – 0,66) + 0,5(x₂² – 0,66) =

=3,9+0,7x₁+ 1,0x₂+1,5 x₁²+0,5 x₂²

После получения уравнения производится статистический анализ значимости вычисленных коэффициентов и проверка адекватности (содержательности) уравнения, то есть его предсказательной способности.

Оценка дисперсии коэффициентов регрессии для планов второго порядка, в отличие от линейных планов, являются различными, так как вычисляются по разным совокупностям точек плана.

Для этого вычисляют отношение соответствующего параметра модели b к среднему квадратичному отклонению при его определении S_b. Это отношение распределено по критерию Стьюдента:

t=|b_i| / S_b

Оценку дисперсии коэффициентов рассчитывают по формулам:

где S²_воспр – дисперсия воспроизводимости, рассчитанная по повторным наблюдениям в одной или нескольких точках. R – соответствующий диагональный элемент обратной ковариационной матрицы (ХХ’)^-1.

Обратная матрица	x0	x1	x2	x1 x2	X3*=х12-с	X4*=х22-с
(ХХ’)-1=	5/9	0	0	0	-1/3	-1/3
	0	1/6	0	0	0	0
	0	0	1/6	0	0	0
	0	0	0	1/4	0	0
	-1/3	0	0	0	1/2	0
	-1/3	0	0	0	0	1/2

Повторные наблюдения (три) в центре плана =3 (табл. 3.7), т.е.

у_оср=(3,5+3+2,5)/3=3

Дисперсия воспроизводимости:

S²_воспр=Σ(у_оi-у_оср)²/(т-1)=(3,5-3)²+(3-3)²+(2,5-3)²/(3-1)=0,25

Дисперсия определения коэффициентов:

S²_bо=5/9·0,25=0,139; S²_b1=1/6·0,25=0,041; S²_b2=1/6·0,25=0,041; S²_b3*=1/2·0,25=0,125; S²_b4*=1/2·0,25=0,125.

Вычисляем критерий Стьюдента:

t_о=|b_о| / S_bо=3,9/0,139^1/2 =10,5; t₂=|b₂| / S_b2=1,0/0,041^1/2=5;

t₁=|b₁| / S_b1=0,7/0,041^1/2=3,5; t_3*=|b_3*| / S_b3*=1,5/0,125^1/2=4,3;

t_4*=|b_4*| / S_b4*=0,5/0,125^1/2=1,42.

Табличное значение критерия Стьюдента t_табл=4,3 при f=m-1 (уровень значимости α=0,05).

Следовательно, с 95% вероятностью можно утверждать, что коэффициенты b₁ и b_4* не значимы, и ими можно пренебречь. Тогда уравнение регрессии имеет вид

у=3,9+1,0x₂+1,5 x₁²

Проведем проверку содержательности модели.

Остаточная дисперсия S²_R:

Она характеризует различие между экспериментальными значениями отклика у_и и расчетными значениями у_ирасч.

y_1расч = 3,9+1,0(-1)+1,5 (+1)=4,4

y_2расч = 3,9+1,0(-1)+1,5 (+1)=4,4

y_3расч = 3,9+1,0(+1)+1,5(+1)=6,4

y_4расч = 3,9+1,0(+1)+1,5 (+1)=6,4

y_5расч = 3,9+1,0(0)+1,5 (+1)=5,4

y_6расч = 3,9+1,0(0)+1,5 (+1)=5,4

y_7расч = 3,9+1,0(-1)+1,5 (+1)=4,4

y_8расч = 3,9+1,0(+1)+1,5 (+1)=6,4

y_9расч = 3,9+1,0(0)+1,5 (+1)=5,4

S²_R=(4-4,4)²+(5-4,4)²+(6-6,4)²+(7-6,4)²+(5-5,4)²+(7-5,4)²+(4-4,4)²+(6-6,4)²+(3-5,4)²/9-3= =(0,16+0,36+0,16+0,36+0,16+2,56+0,16+0,16+5,76)/6=1,64

Рассчитывается дисперсия относительно среднего значения отклика, т.е. остаточная дисперсия нулевого порядка:

уиср= _{(4+5+6+7+5+7+4+6+3) / 9 = 5,2;}

S2Ro=[(4-5,2)2+(5-5,2)2+(6-5,2)2+(7-5,2)2+(5-5,2)2+(7-5,2)2+

+(4-5,2)2+(6-5,2)2+(3-5,2)2] / (9-1)=15,56/8=1,95

Модель можно считать содержательной, если S2Ro значительно, не менее в 3-5 раз превосходит величину остаточной дисперсии S2R.

Критерий Фишера Fс:

Fс=1,95/1,64=1,18

Критерий Фишера Fс низкий, что свидетельствует о невысокой содержательной способности уравнения регрессии.

Проверку адекватности модели (т.е. соответствия между экспериментальными и расчетными значениями отклика) осуществить по критерию Фишера Fад:

Fад=1,64/0,25=6,56

Рассчитанное значение критерия Фишера сравниваем с табличным Fтабл = 19,33. При числе степеней свободы f1=N-b и f2=m-1 (уровень значимости α=0,05). Условие адекватности модели Fpасч≤Fтабл. Следовательно, уравнение регрессии :

у=3,9+1,0x₂+1,5x₁² адекватно.

Предсказательная способность в центре плана:

t_о=|b_o-y_ocp| /( S²_воспр/т)^1/2=(3,9-3) / (0,25/3)^1/2=0,9/0,288=3,13.

Табличное значение критерия Стьюдента =4,3, следовательно, предсказательная способность модели в центре плана высокая.

Анализ остатков.

Сопоставление экспериментальных и расчетных значений отклика показывает, что в 3 случаях у_и-у_ирас>0, и в 6 случаях у_и-у_ирас<0.

у_и-у_ирас=(4<4,4); (5>4,4); (6<6,4); (7>6,4); (5<5,4); (7>5,4); (4<4,4); (6<6,4); (3<5,4).

Следовательно, колебания остатков носят случайный характер.