§6. Кооперативная теория
Другим классом неантагонистических игр являются кооперативные игры.
Каждая бескоалиционная игра описывает некоторый, вообще говоря, достаточно сложный конфликт, не всегда поддающийся не только детальному изучению, но и даже точному описанию. Поэтому иногда представляется естественным выбирать в этом конфликте отдельные его аспекты и подвергать их специальному анализу.
Самым простым будет при
этом выделение некоторого множества
игроков
называемого коалицией
(бескоалиционность
рассматриваемых игр в том и состоит,
что никакие коалиции первоначально в
правилах игры не предусмотрены), и
рассмотрение антагонистической игры
)
коалиции
как единого игрока
против ее «окружения»
в целом. При этом
комбинации стратегий игроков из
(и из
)
составляют стратегии
(соответственно
стратегии
),
а сумма выигрышей
игроков из
- выигрыш коалиции
.
Значение
этой игры естественно
понимать как силу коалиции
в общей игре
.
Соответствие
для каждой коалиции
в условиях бескоалиционной игры
называется ее характеристической
функцией и обозначается
через
.
Характеристическая функция дает представление о возможностях коалиций и отдельных игроков в условиях игры даже без указания множества стратегий и функций выигрыша в ней. Поэтому говорят даже о задании игр «в форме характеристической функции», противопоставляя его заданию игр «в нормальной форме», и в других формах, которые существуют, но нами не затрагиваются. Изучение характеристических функций игр и составляет содержание кооперативной теории игр.
В рамках такой кооперативной теории исходами игры будут некоторые распределения суммарного выигрыша, называемые дележами. Характеристическую функцию, рассматриваемую совместно с некоторым множеством дележей, принято называть кооперативной игрой. Для кооперативных игр конструируются соответствующие принципы оптимальности, и рассматривается связанная с ними проблематика.
В некоторых из этих принципов оптимальности воплощаются представления об устойчивости, которые получаются перенесением на соотношения между дележами различных вариантов описания максимума функции. Однако применительно к дележам эти варианты определения перестают быть эквивалентными и порождают различные принципы оптимальности.
Вводимые принципы оптимальности имеют некоторые недостатки (если вообще можно говорить о недостатках достаточно естественно возникающих объектов): они не всегда реализуемы, а в тех случаях, когда реализуемы, могут допускать целые множества реализации, причем каждая реализация может состоять из многих дележей. К тому же реализации этих принципов могут не удовлетворять условиям справедливости в том смысле, как она определялась выше.
Все отмеченное заставляет искать новые принципы оптимальности. При этом плодотворным оказывается следующий путь: не переносить на случай дележей те или иные формулировки для максимумов на числовых множествах, выясняя, какими свойствами полученные принципы оптимальности будут обладать, а наоборот, фиксировать те свойства (в том числе - некоторые черты справедливости), которые желательно видеть у интересующих нас принципов оптимальности, и конструировать принцип, который этими свойствами заведомо будет обладать.