7.2 Властивості й методи дослідження нелінійних систем

З математичної точки зору найбільш суттєвою відмінністю лінійних систем від нелінійних є те, що до останніх не застосовується принцип суперпозиції: реакція нелінійної системи на декілька впливів не дорівнює сумі реакцій на окремі впливи. Якщо, наприклад, є нелінійна квадратична залежність y=x², то при x = x₁+x₂ отримуємо y=(x₁+x₂)², що не дорівнює сумі y₁=x₁² і y₂=x₂², тобто (x₁+x₂)²  x₁²+ x₂².

До нелінійних систем також не застосовується принцип комутативності, тобто у системі не можна міняти місцями між собою нелінійні елементи, а також нелінійні та лінійні елементи.

Для дослідження нелінійних систем не можна застосовувати перетворення Лапласа і Фур’є і отримані на їх основі передавальні функції, бо ці перетворення є лінійними.

Особливістю нелінійних систем є можливість виникнення у них стійких коливань певної амплітуди і частоти – автоколивань.

Стійкість нелінійних систем визначається не тільки структурою і параметрами САК (як у лінійних системах), але залежить і від початкових відхилень відносно стану рівноваги.

Усі ці особливості нелінійних САК обумовили необхідність розробки ряду методів для їх дослідження, у результаті якого мають бути розв’язані такі основні задачі:

- аналіз впливу нелінійностей, притаманних реальним елементам, на процеси у лінеаризованих системах;

- аналіз стійкості суттєво нелінійних систем, виявлення автоколивань і визначення їх амплітуди і частоти, визначення точності системи та її реакції на зовнішні впливи;

- корекція САК за допомогою нелінійних коректувальних пристроїв і синтез суттєво нелінійних систем, що мають задані динамічні характеристики.

До методів дослідження нелінійних систем, які отримали практичне застосування, належать:

Частотні методи. Вони являють собою розповсюдження частотних методів на нелінійні системи. Це частотний метод В.М. Попова дослідження стійкості й метод гармонічної лінеаризації Л.С. Гольдфарба та Е.П. Попова.

Метод фазової площини. Цей метод ґрунтується на зображенні руху системи на фазовій площині за допомогою фазових траєкторій. Він дозволяє порівняно просто досліджувати динаміку нелінійних систем другого порядку.

Метод припасовування. Метод полягає у тому, що нелінійна характеристика замінюється декількома лінійними ділянками. Розв’язки, що відповідають цим ділянкам, зшиваються. Метод вирізняється складністю обчислень, особливо при високих степенях рівнянь.

Графоаналітичні методи. Серед них найбільш розповсюдженим є метод Д.А.Башкірова побудови перехідних процесів. Ґрунтується на розкладі складного диференціального рівняння на елементарні рівняння, для яких запропонований простий графічний спосіб інтегрування. Метод може бути застосований для систем будь-якого порядку.

Чисельні методи. Зводяться до чисельного розв’язування нелінійних диференціальних рівнянь.

Метод малого параметра або метод еквівалентної лінеаризації. Метод застосовують для аналізу нелінійних САК, до рівнянь яких входить деякий малий параметр  так, що при нульовому значенні  нелінійні рівняння вироджуються у лінійні.

Метод моделювання на електронних моделюючих установках, що дозволяють підвищити точність і швидкість дослідження нелінійних систем. Моделювання є найбільш ефективним, коли через складність системи інші методи не можуть бути використаними.