8 Практическая часть

Задача 1.

Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует a костюмов и b платьев, а при прохладной погоде - c костюмов и d платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны α₀ , а платья – β₀ рублям, цена реализации соответственно равна α₁ рублей и β₁ рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия.

a=1000, b=2300, c=1400, d=700,

α₀=20, β₀=5, α₁=40, β₁=12.

Составим математическую модель задачи. В связи с возможными состояниями спроса фирма располагает двумя стратегиями.

1. F₁ = (1000, 2300) – произвести 1000 костюмов и 2300 платьев,

2. F₂ = (1400, 700) – произвести 1400 костюмов и 700 платьев.

Природа (рынок) располагает также двумя стратегиями:

1. D₁ = погода теплая,

2. D₂ = погода прохладная.

Если фирма примет стратегию F₁ и спрос действительно будет находиться в первом состоянии, то есть погода будет теплой (D₁), то выпущенная продукция будет полностью реализована и доход составит w₁₁ =1000∙(40-20) + 2300∙(12-5) = 36100.

Если фирма примет стратегию F₁, а спрос будет находиться в состоянии D₂ (погода прохладная), то платья будут реализованы лишь частично, и доход составит: w₁₂ = 1000∙(40-20) + 700∙(12-5) – (2300-700)∙5= 16900.

Аналогично, если фирма выберет стратегию F₂, а природа – стратегию D₁ (погода теплая), то доход составит (будут недораспроданы костюмы):

w₂₁ =1000∙(40-20) + 700∙(12-5) – (1400-1000)∙20= 16900, а если природа выберет стратегию D₂, то

w₂₂ = 1400∙(40-20) + 700∙(12-5) = 32900.

Рассматривая фирму и природу в качестве двух игроков, получим платежную матрицу игры

,

которая будет служить игровой моделью задачи.

Поскольку максиминная стратегия игры составляет a = max (16900, 16900) = =16900, а минимаксная b = min (36100, 3290) = 32900, то цена игры лежит в диапазоне

16900 ден. ед. < ν < 32900 ден. ед.

Решим данную игру аналитическим методом. Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию xʹ=(x₁ʹ,x₂ʹ), а второй игрок – чистую стратегию, соответствующую первому столбцу платежной матрицы, равен цене игры ν:

36100∙x₁ʹ+16900∙x₂ʹ= ν.

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответствующую второму столбцу платежной матрицы, то есть

16900∙x₁ʹ+32900∙x₂ʹ=ν.

Учитывая, что x₁ʹ+x₂ʹ=1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

Решаем эту систему и находим:

Оптимальная стратегия фирмы:

Таким образом, фирме оптимально произвести 1218 костюмов и 1427 платьев.

Задача 2.

Количество возможных стратегий Получателя - 5, Плательщика - 4. Величины платежа образуют таблицу.

Требуется найти наиболее выгодную чистую стратегию первого игрока, выбирающего строку (Получателя).

Решение:

1. В каждой строке найдем минимальное значение

2. Из полученных значений возьмем максимальное, то есть вычислим максимин

Найденное значение реализуется при выборе последней (пятой) стратегии А5 Получателя.

Ответ: наиболее выгодной для Получателя (при однократной игре) является стратегия А5, так как при любом выборе Плательщиком его стратегии величина платежа составит а = 3 или больше.