3. Оптимальное управление полётом по маршруту

Задача оптимизации траекторного управления при маршрутном методе навигации обы-чно решается на основе методов аналитического конструирования регуляторов. Наиболее строгое решение задачи получается при использовании полных нелинейных уравнений прос-транственного уравнения ЛА и системы управления. Однако при таком подходе трудно учесть иерархию управления, в частности, наличие навигационного и пилотажного комплек-сов, каждый из которых имеет свой контур управления, причём навигационный комплекс яв-ляется старшим уровнем по отношению к пилотажному комплексу, выполняющему функции исполнения. Навигационный комплекс в своей управляющей части должен формировать за-дающее воздействие для пилотажного комплекса в виде заданного угла крена, заданного уг-ла тангажа, заданной скорости, заданной перегрузки и т.д.

Именно эти задающие воздействия целесообразно рассматривать как управления при решении задачи оптимизации траекторного управления.

С учётом иерархического принципа управления модель траекторного движения ЛА сос-тавляется в отклонениях от заданной траектории. Затем задаётся критерий оптимизации, ко-торый может быть терминальным или нетерминальным. Терминальные задачи оптимизации характерны для таких этапов полёта, как посадка, приземление, самонаведение, стыковка и т.п. Оптимизация по терминальным критериям приводит к нестационарным управлениям, за-висящим от относительного времени и конечного момента времени.

Для стационарных режимов характерны стационарные и нетерминальные оптимальные управления. Для маршрутного полёта, а также многих видов маневрирования, допустима не-терминальная оптимизация. В интересах простоты задачи оптимизации целесообразным яв-ляется применение критерия оптимизации в виде функционала обобщённой работы (ФОР), предложенного для процессов, описываемых уравнениями [5]:

(2)

Оптимальными в смысле минимума функционала

(3)

являются уравнения

(4)

где – решение уравнения Ляпунова

(5)

при граничном условии

В уравнениях (2)–(5) х(t)=(х₁, х₂, … , х_n)^T – вектор состояния; u=(u₁, u₂, … , u_m)^T – вектор управления; f_i , φ _{i j} , Q _З, V _З – заданные непрерывные функции времени; > 0 – заданные ко-эффициенты.

Левый член ФОР в (3) (терминальный член) ”отвечает” за вывод управляемого объекта в момент времени t_кон=t₂ в окрестность желаемой ”цели”. Средний член ”отвечает” за качес-тво переходных процессов и соблюдение ограничений. Правый член ФОР может выражать энергетические и информационные затраты, или и то и другое вместе. В целом правый член допускает следующую интерпретацию. При решении задач синтеза системы управления он влияет прежде всего на структуру и параметры синтезируемого интерфейса, связывающего систему управления с объектом управления (цифроаналоговые преобразователи, экстраполя-торы, исполнительные устройства). При оптимальном управлении правый член всегда равен нулю [5].

Главным достоинством оптимизации на основе минимизации ФОР является алгоритми-ческая и вычислительная простота, поскольку решение уравнения Ляпунова не представляет трудностей. Минимизация ФОР вместо традиционных методов (например, минимизации ме-тодом динамического программирования) для сложных многоразмерных нелинейных задач оптимизации позволяет на два-три и более порядков сократить вычислительные затраты на стадии проектирования и требуемую вычислительную производительность в режиме реаль-ного времени.

Поставим задачу нахождения _З=k_Z Z+k_Ż Ż с помощью критерия оптимального полё-та по маршруту в виде частного случая ФОР [7]:

Т

I = ∫ Z ² ( t, k ) dt , (6)

0

где Т – время переходного процесса, k – оптимизируемый коэффициент (k_Z или k_Ż). Левый член ФОР (3) можно положить равным нулю. Правый член ФОР равен нулю, т. к. система управления спроектирована оптимальной с точки зрения отработки управляющих сигналов. Функционал (6) имеет чёткий физический смысл. Он учитывает площадь подынтегральной кривой Z(t), что обеспечивает минимум отклонений от ЛЗП.

Таким образом задача оптимизации управления по маршруту сводится к тому, чтобы найти такую зависимость угла крена от переменных состояния _З=k_Z Z+k_Ż Ż под действием которой система из состояния Z(0), Ż(0) переходила бы в состояние Z(t_кон)=0, Ż(t_кон)=0 и при этом функционал I принимал наименьшее значение.

Рассмотрим законы управления по каналам элеронов и руля высоты [1]. При стабили-зации ЛА на траектории обычно сигнал датчика Z вводят только в канал элеронов, а сигнал датчика ΔH=H – H_З (где H_З – заданная высота полёта), как правило, вводят только в канал ру-ля высоты. В результате для режима стабилизации ЛА на траектории законы управления по каналам элеронов, руля направления и руля высоты в общем виде могут быть представлены как [1]

(7)

где γ – угол крена; υ – угол тангажа; ω_x, ω_y, ω_z – проекции вектора угловой скорости разворо-та самолёта ω на оси связанной системы координат.

Число слагаемых в правых частях системы (7) соответствует числу действительно при-меняемых в реальных системах датчиков. Особенности конкретных сервоприводов рулей учитываются передаточными функциями при входных параметрах.

Часто законы управления по каналам элеронов и руля высоты представляются в виде

(8)

где (9)

Величины _З и _З при этом представляют «заданные» значения углов  и , функциона-льно связанные с Z и ΔH. Запись (8) законов управления намечает путь к упрощению систем уравнений, описывающих процессы стабилизации ЛА на траектории. Действительно, если предположить, что система управления мгновенно отрабатывает заданные значения углов крена и тангажа, так что ≡_З, ≡_З, то отпадает необходимость в рассмотрении уравнений (8), и законы управления боковым отклонением и отклонением высоты принимают вид

(10)

выражающий связь уже не между входными и выходными параметрами каналов элеронов и руля высоты, а между управляющими (, ) и траекторными (Z, ΔH) параметрами системы управления [1].

Траекторные параметры, характеризующие движение центра масс ЛА изменяются во времени сравнительно медленно. Параметры, характеризующие движение вокруг центра масс, изменяются во времени сравнительно быстро. С помощью этих параметров можно эф-фективно воздействовать на движение центра масс. В связи с этим в качестве управляющих удобно использовать параметры, характеризующие движение самолёта вокруг центра масс, т.е. угловые параметры, что и отражено уравнениями (10). Практически запись (10) законов управления означает пренебрежение переходными процессами движения самолёта вокруг центра масс ввиду их малой длительности по сравнению с длительностью переходных про-цессов движения центра масс.