Примеры.
1. I = cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.
.
2.
.
Пусть ln t = x,
тогда dx = dt/t.
3.
.
Пусть x = cos
t,
тогда dx = - sint dt,
и
.
4.
.
Пусть x = sin t,
тогда dx = cos
dt, и
.
Формула интегрирования по частям
Этот
метод основан на формуле 
.
Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда
(uv) = uv + vu
Отсюда следует
(uv)dx = (uv + vu )dx = uv dx + vu dx
или
uv dx = uv – uv dx .
Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:
u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x)
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а)
,
где
; б)
,
где
;
в)
,
где
; г)
,
где
.
При
вычислении интегралов а)
и б) вводят обозначения:
,
тогда
,
а, например
,тогда
.
При
вычислении интегралов в), г) обозначают
за
функцию
,
,
а за
берут
.
Примеры.
1). I = x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:
I = x sinx – sinx dx = x sinx + cosx + C.
2).
I = (x2 – 3x + 2) e5xdx.
Пусть
x2 – 3x + 2 = u;
e5xdx = dv.
Тогда
du = (2x – 3) dx;
.
.
К
последнему интегралу применим метод
интегрирования по частям, полагая
2x - 3 = u;
e5xdx = dv.
Отсюда следует: du = 2dx;
,
и окончательно получаем:
.
3).
;
;
.
4). 
=
=
.
5). 
6). 
=
=
.
Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Определение 5. Определенным интегралом от функции
f ( x ) c границами a и b называется разность значений первообразной для функции f ( x ) при x= a и x = b:
Свойства определённого интеграла.
1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю.
2. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного значения интеграла.
где F(x)- первоообразная для f (x).
Формула известна ещё из школьного курса математики и носит имя двух великих учёных всех времён и народов - И.Ньютона и Г.Лейбница, заложивших в начале XVII в основы дифференциального и интегрального исчислений. Таким образом, чтобы вычислить определённый интеграл, нужно найти основную первообразную для подынтегральной функции (без константы-слагаемого) и вычислить разность значений этой первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования a и b.
Примеры:
1)
2)
3
)
4)
5)
6)
.
Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим:
.
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.