Случайная величина, её функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Факториал

Определение:

факториалом числа n называется произведение натуральных чисел от 1 до n

Примеры:

1!=1; ; 4! = ; 0!=1

;

Основные понятия комбинаторики:

Если дано множество, состоящее из n элементов, тогда:

1) Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из всех этих элементов, причём два таких множества считаются разными, если они отличаются между собой порядком элементов.

 число перестановок

2) Сочетанием из n элементов по m элементов называется любое подмножество, состоящее из m элементов, причём два таких подмножества считаются разными, если они отличаются составом.

 число сочетаний

3) Размещением из n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество, содержащее m элементов, причём два таких подмножества считаются разными, если они отличаются составом или порядком элементов.

 число размещений

Задача № 1.

Из 6-ти книг надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать?

1) Если книги не отличаются порядком элементов, а только составом, то происходит сочетание:

(способов)

2) Если важен порядок выбора книг, то происходит размещение:

(способов)

Формула Бернулли

Пусть проведено n опытов.

Вероятность того, что событие А осуществится k раз и не осуществится

(n – k) раз вычисляется по формуле Бернулли:

q^{n – k} , где

При повторных испытаниях, в каждом из которых вероятность события А не изменяется и равна p , вероятность того, что событие А не наступит равна q = 1 – p.

Пример:

1) Вероятность выпадения цифры 3 в подбрасывании кубика . Тогда вероятность выпадения любой другой цифры q

2) При подбрасывании монеты «орёл» выпадает с вероятностью:

, и q .

Задача № 2.

Монету подбросили 4 раза. Чему равна вероятность выпадения герба 2раза?

Решение:

Пусть событие А – это выпадение герба, тогда

n = 4, k = 2, p = P(A) = , q = 1 − = ,

Задача № 3.

Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7-ми посеянных семян взойдёт 5?

Решение:

n = 7 (число опытов),

k = 5 (событие осуществится),

р = 90% = 0,9 (всхожесть одного семени),

тогда: q = 1 − 0,9 = 0,1 и

Задача № 4.

В магазин вошли 20 покупателей. Найти вероятность того, что 15 из них совершат покупку, если вероятность покупки для каждого отдельного покупателя одна и та же и равна 10%.

Решение:

q = 0,9

Задача № 5.

Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

Наивероятнейшее событие

Определение:

Число наступлений события называется наивероятнейшим если это число есть наибольшая вероятность наступления события по сравнению с вероятностью других исходов.

np – q m₀ np + p

n – число испытаний,

p – вероятность наступления события в отдельном испытании,

m₀ – наивероятнейшее число наступлений события

q = 1 – р

Задача №6.

Сколько раз надо подбросить кубик, чтобы наивероятнейшее событие выпадения «2-ки»

было равно 32-м?

Решение:

р = , m₀ = 32, q = 1 – р = , n - ?

Ответ: кубик надо подбрасывать от 191-го до 197-ми раз.