Частные дифференциалы.
Пусть
существует частная производная 
, тогда
Умножим
на 
Если
,
линейное относительно
,
является главной частью приращения
,
поскольку второе слагаемое 
будет бесконечно малой высшего порядка
по сравнению с 
.
Аналогично для 
.
Определение. Частным дифференциалом функции по каждому из аргументов х и у называется главная часть соответствующего частного приращения функции z, линейная, относительно приращения аргументов.
,
так
как дифференциалы независимых переменных
х и у совпадают с их приращениями 
Пример.
Найти частные дифференциалы функции
Полный дифференциал.
Пусть
дана функция 
При
переходе из т. 
в т. 
функция z
получает полное приращение 
.
Определение.
Полным дифференциалом dz
функции z
называется главная часть полного
приращения 
этой функции, линейная, относительно
где
– бесконечно-малая величина.
Можно показать, что полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов
Или
Или
.
/Более подробно:
Полное
приращение 
.
Главная
часть 
,
тогда 
Полным
дифференциалом второго порядка 
называется полный дифференциал от
полного дифференциала dz
этой функции
Поэтому
Так
как
,
то 
Дифференциал сложной и неявной функции.
Пусть дана функция , аргументы которой х и у являются функциями независимой переменной t.
Числовому
значению 
переменной t
соответствуют числовые значения 
величин
х и у, и следовательно, численное
значение 
.
Пусть
функция
имеет непрерывные частные производные
и 
и
пусть функции 
дифференцируемы в т. 
.
Найдем производную сложной функции 
по независимой переменной t
. Тогда приращение запишется 
здесь 
при
одновременном стремлении к 0 
Поделим это равенство на 
и возьмем предел 
.
При 
,а
ограничены (так как это производные),
поэтому при 
В другом виде
Пример:
Найти производную от функции 
если 
Если
Рассмотрим общий случай.
Пусть
z=f(x,
y)
есть сложная функция не одной, а нескольких
независимых переменных U,
V,
...,W,
если считать 
.
Пусть z имеет непрерывные частные производные по х и по у, а х и у имеют частные производные по U, V, …,W.
Тогда, положив V=…=W=const, тогда x=x(U), y=y(U) – есть сложная функция одной независимой переменной U, тогда
Полагая постоянными все величины, кроме V, получим
Пример: найти частную производную функции.
Можно показать, что полный дифференциал dz функции z=f(x,y) обладает свойствами инвариантности, т.е. dz имеет одинаковую форму записи и для случая, когда х и у независимые переменные и когда х и у являются промежуточными аргументами, т.е. функциями одной или нескольких других независимых переменных.
Дифференцирование неявной функции.
Пусть
дано уравнение 
,
где a=const.
Это уравнение будет определять единственную и дифференцируемую функцию y=f(x), если:
Координаты некоторой точки
плоскости хОу удовлетворяет уравнению
Функция F(x,y) непрерывна в окрестности этой точки Р и имеет в этой окрестности частные производные
При
выполнении этих условий уравнение
F(x,y)=a
будет определять в окрестности точки
и в самой точке функцию 
,
тогда получим тождество
.
В силу этого дифференциал dF
будет равен нулю. Используя свойство
инвариантности дифференциала, получим
. Откуда
и находи искомую производную 
.
Пример. Найти производную от неявной функции, заданной уравнением
.
